Выпуклый анализ – раздел математики, в котором главным предметом исследования является выпуклость. Выпуклый анализ находит многочисленные применения в самых различных разделах математики, преимущественно в задачах экстремального характера. Характерной особенностью выпуклого анализа и его применений является широкое использование двойственных методов, т.е. описанию объектов с помощью непрерывных линейных функционалов. Поэтому значительная часть курса посвящена изложению необходимых разделов функционального анализа, которые не входят или входят в недостаточном объеме в стандартный университетский курс по этой дисциплине.
Предлагаемый курс представляет собой теоретический курс, рассчитанный, в первую очередь, на студентов-математиков, специализирующихся в теории вероятностей, математической статистике, финансовой математике и смежных дисциплинах.

Примерная программа курса:

1. Топологические пространства. Компактность. Слабые топологии.
2. Топологические векторные пространства. Теоремы об отделимости. Теорема Банаха–Алаоглу.
3. Двойственные пары. Топологии, совместимые с двойственностью. Теорема Макки.
4. Банаховы решетки.
5. Некоторые пространства функций и мер.
6. Выпуклые функции. Преобразование Фенхеля. Теорема Фенхеля–Моро. Теорема двойствености Фенхеля–Рокафеллара.
7. Некоторые применения выпуклого анализа в математической статистике.
8. Некоторые применения выпуклого анализа в финансовой математике.

Примерная программа курса в весеннем семестре:

1. Выпуклые функции. Преобразование Фенхеля. Теорема Фенхеля–Моро. Субдифференциалы. Теорема двойствености Фенхеля–Рокафеллара.
2. Некоторые результаты из теории банаховых пространств. Пространства $L^p$, счетно-аддитивных мер и конечно-аддитивных функций.
3. Применения выпуклого анализа в математической статистике: f-дивергенции и связанные с ними экстремальные задачи, задача проверки гипотез.
4. Применения выпуклого анализа в финансовой математике: выпуклые меры риска, задача максимизации полезности.

Руководитель
Гущин Александр Александрович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва