Мультипликаторы в пространствах бесселевых потенциалов: случай индексов гладкости разного знака

Цель настоящей работы – изучить пространства мультипликаторов, действующих из одного пространства бесселевых потенциалов $H^s_p(\mathbb R^n)$ в другое пространство $H^{-t}_q(\mathbb R^n)$ в случае, когда индексы гладкости этих пространств разного знака, т.е. $s,t\geqslant0$. Это пространство состоит из распределений $u$, таких, что для всех $\varphi\in H^s_p(\mathbb R^n)$ произведение $\varphi\cdot u$ корректно определено и принадлежит пространству $H^{-t}_q(\mathbb R^n)$. В случае, когда $p\leqslant q$ и выполнено одно из условий
$$ s\geqslant t\geqslant0, s>n/p\quadили\quad t\geqslant s\geqslant0, t>n/q'\quad(где 1/q+1/q'=1), $$
рассматриваемые пространства мультипликаторов удается описать явно, а именно
$$ M[H^s_p(\mathbb R^n)\to H^{-t}_q(\mathbb R^n)]=H^{-t}_{q,\mathrm{unif}}(\mathbb R^n)\cap H^{-s}_{p',\mathrm{unif}}(\mathbb R^n), $$
где $H^\gamma_{r,\mathrm{unif}}(\mathbb R^n)$, $\gamma\in\mathbb R$, $r>1$ – шкала пространств равномерно локализованных бесселевых потенциалов. В частном, но важном случае $s=t<n/\max(p,q')$ доказаны двусторонние непрерывные вложения
$$ H^{-s}_{r_1,\mathrm{unif}}(\mathbb R^n)\subset M[H^s_p(\mathbb R^n)\to H^{-s}_q(\mathbb R^n)]\subset H^{-s}_{r_2,\mathrm{unif}}(\mathbb R^n), $$
где $r_2=\max(p',q)$, $r_1=[s/n-(1/p -1/q)]^{-1}$.