Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2014, том 15, выпуск 3, страницы 31–47 (Mi cheb351)  

Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях)

Проблема Варинга с натуральными числами специального вида

С. А. Гриценкоab, Н. Н. Мотькинаc

a МГУ имени М. В. Ломоносова
b Финансовый университет при Правительстве РФ
c Белгородский государственный университет

Аннотация: Работа является продолжением исследований авторов классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству. Ранее были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло-Кена, Лагранжа. Для числа решений этих проблем с числами специального вида получены асимптотические формулы. Задачи Гольдбаха, Хуа Ло-Кена — задачи с простыми числами. Они являются классическими проблеми теории чисел о числе решений уравнения $p_1^n+p_2^n+\cdots +p_k^n=N$ в простых числах $p_1, p_2,\ldots , p_k$, где $k\ge 2$ и $n\ge 1$ — натуральные числа. При $k=3$, $n=1$ — задача Гольдбаха, $k=5$, $n=2$ — задача Хуа Ло-Кена. Авторы рассматривали эти задачи при условии, что на простые числа $p_i$, $i=1,2,\ldots,k$, наложены дополнительные ограничения вида $a<\{\eta p_i^n\}<b,$ где $a$ и $b$ — произвольные действительные числа, $0\le a < b \le 1$, $\eta$ — квадратичная иррациональность. При выводе асимптотических формул использовали круговой метод Харди–Литтлвуда–Виноградова. Полученные формулы отличаются от асимптотических формул классических задач в простых числах без ограничений тем, что в главных членах появляются ряды специального вида:
$$ \sigma_k (N,a,b)=\sum_{|m|<\infty} e^{2\pi i m(\eta N-0,5 k(a+b))} \frac{\sin^k \pi m (b-a)}{\pi ^k m^k}. $$
Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая также исследована авторами. Задача Лагранжа — задача о представлении натурального числа в виде суммы четырех квадратов целых чисел: $l^2_1+l^2_2+l^2_3+l^2_4=N.$ Авторами рассмотрен вариант задачи Лагранжа с целыми числами $l_i$, $i=1,2,3,4$, удовлетворяющими условию $a<\{\eta l_i\}<b$. При выводе асимптотической формулы в задаче Лагранжа авторы, в основном, следовали схеме Клоостермана. В этой задаче в главном члене ряда вида $ \sigma_k (N,a,b)$ не возникает. Проблема Варинга — это задача о представлении любого натурального $N$ суммой $ x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n=N, $ где $x_1, x_2, \ldots, x_k$ — натуральные числа. В данной работе решается вариант проблемы Варинга с натуральными числами $x_i$, $i=1,2,\ldots,k$, такими, что $a\le \{\eta x_i^n\}<b$, где $\eta$ — алгебраическое иррациональное число. Здесь в главном члене появляется ряд $ \sigma_k (N,a,b)$, как и в задачах Гольдбаха и Хуа Ло-Кена с простыми числами, удовлетворяющими условию $a<\{\eta p_i^n\}<b,$ $i=1,2,\ldots,k$. Основным результатом работы является получение асимптотической формулы для числа решений $J(N)$ проблемы Варинга с числами специального вида:
$$ J(N)=I(N)\sigma_k(N,a,b)+O(N^{\frac{k}{n}-1-\frac{c}{n^3\log n}}), $$
где $I(N)$ — число решений классической проблемы Варинга в произвольных натуральных числах $x_1, x_2, \ldots, x_k$, $c=c(\eta)>0$, $n\ge 3$,
$$k\ge k_0 = \{
\begin{array}{ll} 2^n+1, & если $3\le n\le 10$,
2[n^2(2\log n+\log \log n +5)], &если $n>10$. \end{array}
.$$

Библиография: 20 названий.

Ключевые слова: проблема Варинга, аддитивные задачи, числа специального вида, число решений, асимптотическая формула, квадратичная иррациональность, алгебраическое иррациональное число.

Полный текст: PDF файл (621 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл
Тип публикации: Статья
УДК: 511.34
Поступила в редакцию: 09.06.2014

Образец цитирования: С. А. Гриценко, Н. Н. Мотькина, “Проблема Варинга с натуральными числами специального вида”, Чебышевский сб., 15:3 (2014), 31–47

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriMot14}
\by С.~А.~Гриценко, Н.~Н.~Мотькина
\paper Проблема Варинга с натуральными числами специального вида
\jour Чебышевский сб.
\yr 2014
\vol 15
\issue 3
\pages 31--47
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb351}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb351
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v15/i3/p31

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. А. А. Жукова, А. В. Шутов, “Бинарная аддитивная задача с числами специального вида”, Чебышевский сб., 16:3 (2015), 246–275  mathnet  elib
    2. С. А. Гриценко, Н. Н. Мотькина, “О разрешимости уравнения Варинга в натуральных числах специального вида”, Чебышевский сб., 17:1 (2016), 37–51  mathnet  elib
    3. А. А. Жукова, А. В. Шутов, “Геометризация систем счисления”, Чебышевский сб., 18:4 (2017), 222–245  mathnet  crossref  elib
    4. А. А. Жукова, А. В. Шутов, “Аддитивная задача с $k$ числами специального вида”, Материалы IV Международной научной конференции “Актуальные проблемы прикладной математики”. Кабардино-Балкарская республика, Нальчик, Приэльбрусье, 22–26 мая 2018 г. Часть II, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 166, ВИНИТИ РАН, М., 2019, 10–21  mathnet  crossref
  • Просмотров:
    Эта страница:306
    Полный текст:106
    Литература:40
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2022