RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2014, том 15, выпуск 4, страницы 55–123 (Mi cheb360)  

Оценки, связанные с теоремой Ширшова о высоте

М. И. Харитонов

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Аннотация: Работа посвящена получению оценок в теореме Ширшова о высоте. Слово $W$ называется $n$-разбиваемым, если его можно представить в виде $W=W_0W_1\cdots W_n$ где подслова $W_1,…,W_n$ идут в порядке лексикографического убывания. Из не $n$-разбиваемых слов состоит базис алгебры с тождеством степени $n$. А. И. Ширшов показал, что множество слов, не являющихся $n$-разбиваемыми, над алфавитом из $l$ букв имеет ограниченную высоту $h$ над $Y$ – множеством слов степени не выше $n-1$. Мы показываем, что $h<\Phi(n,l)$, где
$$\Phi(n,l) = 2^{96} l\cdot n^{12\log_3 n + 36\log_3\log_3 n + 91}.$$

Пусть $l$, $n$ и $d\geqslant n$ – некоторые натуральные числа. Тогда все слова над $l$-буквенном алфавитом длины больше, чем $\Psi(n,d,l)$, либо содержат $x^d$, либо являются $n$-разбиваемыми, где
$$\Psi(n,d,l)=2^{27} l (nd)^{3 \log_3 (nd)+9\log_3\log_3 (nd)+36}.$$

В 1993 году Е. И. Зельманов поставил следующий вопрос в Днестровской тетради:
“Пусть $F_{2,m}$ – свободное $2$-порожденное ассоциативное кольцо с тождеством $x^m=0.$ Верно ли, что класс нильпотентности кольца $F_{2,m}$ растет экспоненциально по $m$?”
В работе показано, что в $l$-порождённой ассоциативной алгебре с тождеством $x^d=0$ класс нильпотентности меньше, чем $\Psi(d,d,l)$. Тем самым получаются субэкспоненциальные оценки на индекс нильпотентности ниль-алгебр для произвольной характеристики.
Изначальная оценка высоты у Ширшова носила рекурсивный характер, в 1982 году была получена двойная экспонента, в 1992 году – экспоненциальная оценка.
Доказательство использует идею В. Н. Латышева, связанную с применением теоремы Дилуорса к исследованию не $n$-разбиваемых слов. Нам представляется, что теорема о высоте имеет глубокую связь с задачами современной комбинаторики, в частности, Рамсеевского типа. С помощью такого рода соображений получаются верхние и нижние оценки количества периодов длины $2, 3, (n - 1)$ в не $n$-разбиваемом слове, отличающиеся только постоянным множителем.
Библиография: 79 названий.

Ключевые слова: Теорема Ширшова о высоте, комбинаторика слов, $n$-разбиваемый, теорема Дилуорса, проблемы Бернсайдовского типа, теория Рамсея.

Полный текст: PDF файл (444 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Тип публикации: Статья
УДК: 512.5+512.64+519.1
Поступила в редакцию: 05.12.2014

Образец цитирования: М. И. Харитонов, “Оценки, связанные с теоремой Ширшова о высоте”, Чебышевский сб., 15:4 (2014), 55–123

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kha14}
\by М.~И.~Харитонов
\paper Оценки, связанные с теоремой Ширшова о высоте
\jour Чебышевский сб.
\yr 2014
\vol 15
\issue 4
\pages 55--123
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb360}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb360
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v15/i4/p55

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:94
    Полный текст:69
    Литература:19

     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019