RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2015, том 16, выпуск 2, страницы 93–116 (Mi cheb392)  

Многоцветные множества ограниченного остатка

В. Г. Журавлев

Владимирский государственного университета им. братьев Столетовых

Аннотация: Пусть $r(i,X^1)$ — количество точек орбиты длины $i$ относительно вращения $S_{\alpha}: \; \mathbb{T}^1 \longrightarrow \mathbb{T}^1$ окружности единичной длины $ \mathbb{T}^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ на угол $\alpha$, попавших в $X^1$, и пусть $ \delta(i,X^1)=r(i,X^1) - i|X^1| $ — отклонение функции распределения $r(i,X^1)$ от ее среднего значения $i|X^1|$, где $|X^1|$ означает длину $X^1$. В 1921 г. Э. Гекке доказал теорему: если $X^1$ имеет длину $|X^1|=h \alpha + b$, где $h\in \mathbb{N}$, $b\in \mathbb{Z}$, то для отклонения $\delta(i,X^1)$ выполняется неравенство $ |\delta(i,X^1)|\le h $ для всех $i=0,1,2,\ldots$
В 1981 г. И. Орен перенес результат Гекке на конечные объединения интервалов $X^1$ и для таких множеств получил оценку $\delta(i,X^1) =O(1)$ при $i \rightarrow \infty$.
В общем случае, если $X^d$ принадлежит $d$-мерному тору $ \mathbb{T}^d=\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$ и для него выполняется условие $\delta(i,X^d) =O(1)$ при $i \rightarrow \infty$, то $X^d $ называется множеством ограниченного остатка.
Глобальный подход к поиску множеств ограниченного остатка предложен В. Г. Журавлевым, при котором вместо отдельных множеств $X^d_k$ на торе $\mathbb{T}^d$ рассматриваются полные разбиения торов $\mathbb{T}^d_{c,\lambda}=X^d_0 \sqcup X^d_1\sqcup \ldots \sqcup X^d_{s}$ с некоторыми параметрами $c,\lambda$. Основная идея состояла в том, чтобы определить подъем тора $\mathbb{T}^d$ в накрывающее пространство $\mathbb{R}^d$ так, чтобы повороту тора $S_{\alpha}$ отвечало перекладывание $S_{v}$ некоторых множеств $X'_0,X'_1, \ldots, X'_{s}$ из $\mathbb{R}^d$. Если число таких множеств $X'_k$ окажется $s+1\le d+1$, то каждый из образов $X^d_k=\pi(X'_k)$ на торе $\mathbb{T}^d$ будет $BR$-множеством, а соответствующее объединение $T^d_{c,\lambda}=X'_0 \sqcup X'_1 \sqcup \ldots \sqcup X'_s$ из $\mathbb{R}^d$ — торической разверткой для $\mathbb{T}^d$. Такие развертки $T^d$ были сконструированы с помощью перекладывающихся параллелоэдров — многогранников, трансляционно разбивающих пространство $\mathbb{R}^d$. Указанные параллелоэдры получаются сложением по Минковскому $d$-мерного единичного куба $C^{d}$ и отрезков.
В 2012 г. В. Г. Журавлевым по указанной схеме были построены простейшие многомерные множества ограниченного остатка $X^d= P^d$, являющиеся $d$-мерными многогранниками: параллелепипедами или выпуклыми параллелоэдрами с числом вершин $\sharp V(P^d)=2^{d+1}-2.$ Для размерностей $d=1$ и $2$ это будут соответственно множества, содержащие отрезки Гекке и шестиугольники с попарно параллельными равными сторонами, а для $d=3,4$ — параллелоэдры Вороного, среди которых содержится, например, ромбический додекаэдр Федорова.
В настоящей работе с помощью разбиений многомерных торов строятся множества ограниченного остатка, представляющие собою конечные объединения выпуклых многогранников. Для отклонений распределения точек орбит относительно сдвигов тора по указанным множествам доказывается многомерный вариант теоремы Гекке о распределении дробных долей на окружности.
Библиография: 9 названий.

Ключевые слова: многомерная теорема Гекке, множества ограниченного остатка, многогранники.

Полный текст: PDF файл (376 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 511.95
Поступила в редакцию: 15.04.2015

Образец цитирования: В. Г. Журавлев, “Многоцветные множества ограниченного остатка”, Чебышевский сб., 16:2 (2015), 93–116

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zhu15}
\by В.~Г.~Журавлев
\paper Многоцветные множества ограниченного остатка
\jour Чебышевский сб.
\yr 2015
\vol 16
\issue 2
\pages 93--116
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb392}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=23614007}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb392
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v16/i2/p93

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:146
    Полный текст:58
    Литература:31
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020