RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2015, том 16, выпуск 3, страницы 78–94 (Mi cheb410)  

Распределение алгебраических точек в областях малой меры и вблизи поверхностей

В. И. Берникa, А. Г. Гусаковаa, А. В. Устиновb

a Институт математики НАН Беларуси
b Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН

Аннотация: Задачи о распределении точек с рациональными координатами явились естественными обобщениями задач о целых точках в выпуклых областях. Оценки сверху и снизу для количества рациональных точек на окружности были использованы в задаче о размерности Хаусдорфа множества точек окружности с заданным порядком приближаемых точками с рациональными координатами. За последние 15 лет в работах М. Хаксли, В. И. Берника, В. В. Бересневича, С. Велани, Р. Вогана были найдены двухсторонние асимптотические оценки для количества рациональных точек вблизи гладких кривых и поверхностей.
Пусть $I=[a,b]\in\mathbb{R}$ – некоторый интервал, $y=f(x)$ – дважды непрерывно дифференцируемая функция, которая при $c_2>c_1>0$ удовлетворяет неравенству
$$ c_1<|f"(x)|<c_2 $$
для всех $x\in I$. Для произвольного $\gamma$, $0\leq\gamma< 1$ и достаточно большого $Q$ обозначим через $A_I(Q,\gamma)$ множество рациональных точек $\Gamma=(\frac{p_1}{q},\frac{p_2}{q})$, $aq\leq p_1\leq bq$, $1\leq q\leq Q$, для которых выполняется неравенство
$$ |f(\frac{p_1}{q})-\frac{p_2}{q}|<Q^{-1-\gamma}. $$
Множество $A_I(Q,\gamma)$ состоит из точек внутри полосы ширины $2Q^{-\gamma}$ вдоль кривой $y=f(x)$, $x\in I$. Естественно ожидать, что величина $#A_I(Q,\gamma)$ имеет порядок $Q^{3-\gamma}$, что в конце концов было доказано с использованием методов геометрии чисел и метрической теории диофантовых приближений.
Недавно [1] были получены оценки снизу для количества точек вида $\bar{\alpha}=(\alpha_1,\alpha_2)\in\mathbb{R}^2$, где $\alpha_1, \alpha_2$ — сопряженные действительные алгебраические числа произвольной степени $\deg\alpha_1=\deg\alpha_2=n$ и высоты $H(\alpha_1)=H(\alpha_2)\leq Q$, в полосе шириной $c(n)Q^{-\gamma}$, $0\leq\gamma\leq\frac12$, $Q>Q_0(n)$ около любой гладкой кривой $y=f(x)$. В данной работе получены новые результаты о распределении точек с алгебраическими сопряженными действительными и комплексными координатами. В частности, получено обобщение и вышеуказанного результата. Основу доказательства составляет метрическая теорема о диофантовых приближениях в областях $G$ малой меры $\mu G<c_2(n)Q^{-\gamma_1}$, $0\leq\gamma_1\leq\frac13$.
Библиография: 16 названий.

Ключевые слова: диофантовы приближения, мера Лебега, алгебраические сопряженные числа, высота алгебраического числа.

Полный текст: PDF файл (312 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 511.42
Поступила в редакцию: 08.07.2015

Образец цитирования: В. И. Берник, А. Г. Гусакова, А. В. Устинов, “Распределение алгебраических точек в областях малой меры и вблизи поверхностей”, Чебышевский сб., 16:3 (2015), 78–94

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BerGusUst15}
\by В.~И.~Берник, А.~Г.~Гусакова, А.~В.~Устинов
\paper Распределение алгебраических точек в областях малой меры и вблизи поверхностей
\jour Чебышевский сб.
\yr 2015
\vol 16
\issue 3
\pages 78--94
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb410}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=24398928}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb410
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v16/i3/p78

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:159
    Полный текст:41
    Литература:21

     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019