Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2015, том 16, выпуск 4, страницы 200–211 (Mi cheb442)  

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Абсолютные идеалы почти вполне разложимых абелевых групп

Е. И. Компанцеваab, А. А. Фоминb

a Финансовый университет при Правительстве РФ
b Московский педагогический государственный университет

Аннотация: Кольцом на абелевой группе $G$ называется кольцо, у которого аддитивная группа совпадает с $G$. Подгруппа группы $G$ называется абсолютным идеалом, если она является идеалом любого кольца на группе $G$. Если любой идеал кольца является абсолютным идеалом его аддитивной группы, то такое кольцо называется $AI$-кольцом. Если на группе имеется хотя бы одно $AI$-кольцо, то такая группа называется $RAI$-группой. В данной статье мы рассматриваем кольца на почти вполне разложимых абелевых группах (ПВР-группах).
Абелева группа без кручения называется ПВР-группой, если она содержит вполне разложимую подгруппу конечного ранга и конечного индекса. Всякая ПВР-группа $G$ содержит регулятор $A$, который является вполне разложимой и вполне характеристической подгруппой. Конечная факторгруппа $G/A$ называется регуляторным фактором группы $G$, порядок группы $G/A$ называется регуляторным индексом. Если регуляторный фактор ПВР-группы является циклическим, то группа называется ЦРФ-группой. Если типы прямых слагаемых ранга 1 регулятора $A$ попарно не сравнимы, то группы $A$ и $G$ называются жесткими. Если эти типы идемпотентны, то группа $G$ называется группой кольцевого типа.
Главный результат данной статьи заключается в том, что любая жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа является $RAI$-группой. Кроме того, в работе полностью описаны главные абсолютные идеалы таких групп.
Пусть $G$ — жесткая ПВР-группа кольцевого типа с регулятором $A$, циклическим регуляторным фактором $G/A=\langle d+A\rangle$ и регуляторным индексом $n$. Разложение $A=\bigoplus\limits_{\tau\in T(G)}A_\tau$ регулятора $A$ в прямую сумму групп $A_\tau$ ранга 1 и типа $\tau$ определяет множество $T(G)=T(A)$ критических типов групп $G$ и $A$. Из теории ПВР-групп известно, что при подходящем выборе элементов $e_\tau\in A_\tau  (\tau\in T(G))$ группу $A$ можно представить в виде $A=\bigoplus\limits_{\tau\in T(G)} R_\tau e_\tau$, где $R_\tau  (\tau\in T(G))$ — подкольца с единицей поля рациональных чисел. При этом определены натуральные инварианты $m_\tau   (\tau\in T(G))$ почти изоморфизма группы $G$ такие, что в делимой оболочке группы $G$ любой элемент $g\in G$ можно записать в виде $g=\sum\limits\limits_{\tau\in T(G)}\cfrac{r_\tau}{m_\tau} e_\tau$, где $r_\tau$ — элементы колец $R_\tau   (\tau\in T(G))$, однозначно определенные при фиксированном разложении регулятора $A$.
Для описания $RAI$-групп в некотором классе абелевых групп необходимо знать строение главных абсолютных идеалов групп из этого кольца. Главным абсолютным идеалом, порожденным элементом $g\in G$, называют наименьший абсолютный идеал $\langle g\rangle_{AI}$, содержащий $g$.
Теорема 1. Пусть $G$ — жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа с фиксированным разложением регулятора, $g=\sum\limits_{\tau\in T(G)}\cfrac{r_\tau}{m_\tau}e_\tau\in G$. Тогда
$$\langle g\rangle_{AI}=\langle g\rangle+\bigoplus\limits_{\tau\in T(G)}{r_\tau}A_\tau.$$

Заметим, что элементы $r_\tau  (\tau\in T(G))$ в представлении элемента $g \in G$ определены однозначно с точностью до множителя, обратимого в $R_\tau$. Поэтому вид главного идеала $\langle g\rangle_{AI}$ не зависит от разложения регулятора.
Теорема 2. Любая жесткая ЦРФ-группа $G$ кольцевого типа является $RAI$-группой. При этом для любого $\alpha$, взаимно простого с $n$, существует $AI$-кольцо $(G,\times)$ такое, что в факторкольце $(G/A,\times)$ выполняется $\overline{d}\times \overline{d}=\alpha \overline{d}$, где $\overline{d}=d+A,G/A=\langle d\rangle$.
Библиография: 16 названий.

Ключевые слова: кольцо на абелевой группе, почти вполне разложимые группы, абсолютный идеал, $RAI$-группа.

Полный текст: PDF файл (254 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 512.541
Поступила в редакцию: 09.11.2015

Образец цитирования: Е. И. Компанцева, А. А. Фомин, “Абсолютные идеалы почти вполне разложимых абелевых групп”, Чебышевский сб., 16:4 (2015), 200–211

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KomFom15}
\by Е.~И.~Компанцева, А.~А.~Фомин
\paper Абсолютные идеалы почти вполне разложимых абелевых групп
\jour Чебышевский сб.
\yr 2015
\vol 16
\issue 4
\pages 200--211
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb442}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=25006100}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb442
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v16/i4/p200

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. Е. И. Компанцева, А. А. Фомин, “Факторно делимые группы и группы без кручения, соответствующие конечным абелевым группам”, Чебышевский сб., 20:2 (2019), 221–233  mathnet  crossref
  • Просмотров:
    Эта страница:189
    Полный текст:59
    Литература:57
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021