RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2016, том 17, выпуск 1, страницы 187–200 (Mi cheb463)  

Самоулучшение $L^p$-неравенства Пуанкаре при $p>0$

А. И. Порабкович

Белорусский государственный университет

Аннотация: Классическое $(\theta,p)$-неравенство Пуанкаре на $\mathbb{R}^n$
\begin{equation*} (\dfrac{1}{\mu(B)}\int\limits_B |f(y)-\dfrac{1}{\mu(B)}\int\limits_Bf d\mu|^\theta d\mu(y))^{1/\theta} \lesssim r_B (\dfrac{1}{\mu(B)}\int\limits_{B}|\nabla f|^p d\mu)^{1/p}, \end{equation*}
($r_B$ — радиус шара $B\subset\mathbb{R}^n$) обладает свойством самоулучшения — из $(1,p)$-неравенства, $1<p<n$, вытекает «более сильное» $(q,p)$-неравенство (Соболева–Пуанкаре), где $1/q=1/p-1/n$ (неравенство $A\lesssim B$ означает, что $A\le cB$ с несущественной постоянной $c$).
Такой эффект изучался в ряде работ для неравенств более общего вида
\begin{equation*} (\dfrac{1}{\mu(B)}\int\limits_B |f(y)-S_Bf|^\theta d\mu(y))^{1/\theta} \lesssim\eta(r_B) (\dfrac{1}{\mu(B)}\int\limits_{\sigma B}g^p d\mu)^{1/p} \end{equation*}
для функций на метрическом пространстве с мерой. Здесь $f\in L^{\theta}_{\mathrm{loc}}$, $g\in L^{p}_{\mathrm{loc}}$, $S_Bf$ — некоторое число, зависящее от шара $B$ и функции $f$, $\eta$ — некоторая положительная возрастающая функция, $\sigma \ge 1$. В качестве $S_Bf$ выбиралось среднее значение функции $f$ по шару $B$ и рассматривался случай $p\ge 1$.
Мы изучаем свойство самоулучшения для таких неравенств на квазиметрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения с показателем $\gamma>0$. Существенным отличием нашей работы от предыдущих является рассмотрение случая $p,\theta>0$. В этой ситуации функции не обязаны быть суммируемыми и мы берем $S_Bf=I^{(\theta)}_Bf$ — наилучшее приближение постоянными в метрике пространства $L^{\theta}(B)$.
Мы доказываем, что если $\eta(t)t^{-\alpha}$ возрастает при некотором $\alpha>0$, то при $0<p<\gamma/\alpha$ и $\theta>0$ из $(\theta,p)$-неравенства Пуанкаре вытекает $(q,p)$-неравенство с $1/q>1/p-\gamma/\alpha$. При $p\ge \gamma(\gamma+\alpha)^{-1}$ (при таких $p$ функция $f$ является локально суммируемой) отсюда вытекает также $(q,p)$-неравенство с интегральными средними на месте наилучших приближений $I^{(\theta)}_Bf$.
В работе рассматриваются также случаи $\alpha p=\gamma$ и $\alpha p>\gamma$. Если $\alpha p=\gamma$, то из $(\theta,p)$-неравенства Пуанкаре вытекает $(q,p)$-неравенство с любым $q>0$ и, более того, справедливо экспоненциальное неравенство типа известного неравенства Трудингера.
Если же $\alpha p>\gamma$, то из $(\theta,p)$-неравенства Пуанкаре вытекает неравенство
\begin{equation*} |f(x)-f(y)|\lesssim \eta(d(x,y))[d(x,y)]^{-\gamma/p}\lesssim[d(x,y)]^{\alpha-\gamma/p} \end{equation*}
для почти всех $x$ и $y$ из любого фиксированного шара $B$ ($\lesssim$ зависит от $B$).
Библиография: 15 названий.

Ключевые слова: метрическое пространство с мерой, условие удвоения, неравенство Пуанкаре.

Полный текст: PDF файл (793 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.5
Поступила в редакцию: 29.12.2015
Принята в печать:11.03.2016

Образец цитирования: А. И. Порабкович, “Самоулучшение $L^p$-неравенства Пуанкаре при $p>0$”, Чебышевский сб., 17:1 (2016), 187–200

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Por16}
\by А.~И.~Порабкович
\paper Самоулучшение $L^p$-неравенства Пуанкаре при $p>0$
\jour Чебышевский сб.
\yr 2016
\vol 17
\issue 1
\pages 187--200
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb463}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=25795082}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb463
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v17/i1/p187

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:135
    Полный текст:48
    Литература:40
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020