RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2016, том 17, выпуск 1, страницы 201–216 (Mi cheb464)  

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Суммы характеров по модулю свободного от кубов на сдвинутых простых

З. Х. Рахмонов, Ш. Х. Мирзорахимов

Институт математики Академии наук Республики Таджикистан

Аннотация: Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он доказал: если $q$ — простое нечётное, $(l, q)=1$, $\chi$ — неглавный характер по модулю $q$, тогда
\begin{equation} T(\chi )=\sum_{p\le x}\chi (p-l)\ll x^{1+\varepsilon} (\sqrt{\frac{1}{q}+\frac{q}{x}} +x^{-\frac{1}{6}}). \tag{IMV} \end{equation}

При $x\gg q^{1+\varepsilon}$ эта оценка нетривиальна и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) $\mod q$ вида $p-l$, $p\le x$. Затем в 1953 г. И. М. Виноградов получил нетривиальную оценку $T(\chi )$ при $x\ge q^{0,75+\varepsilon}$, $q$ — простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что $T(\chi )$ можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей $L$ — функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для $T(\chi )$ получится нетривиальная оценка, но только при $x \ge q^{1+\varepsilon}$.
В 1968 г. А. А. Карацуба нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В 1970 г. он с помощью развития этого метода в соединении с методом И. М. Виноградова доказал: если $q$ — простое, $\chi$ — неглавный характер по модулю $q$, $x\ge q^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$, тогда
$$ T(\chi )\ll xq^{-\frac{\varepsilon^2}{1024}}. $$

В 1985 г. З. Х. Рахмонов обобщил оценку (IMV) на случай составного модуля и доказал: пусть $D$ — достаточно большое натуральное число, $\chi$ — неглавный характер по модулю $D$, $\chi_q$ — примитивный характер, порожденный характером $\chi$, тогда
$$ T(\chi )\le x\ln^5x (\sqrt{\frac{1}{q}+\frac{q}{x}\tau^2(q_1)} +x^{-\frac{1}{6}}\tau (q_1)), \qquad q_1=\prod_{\genfrac {0pt} {p\backslash D}{p\not\backslash q}}p. $$
Если характер $\chi$ совпадает со своим порождающим примитивным характером $\chi_q$, то последняя оценка нетривиальна при $x>q(\ln q)^{13}$.
В 2010 г. Дж. Б. Фридландер, К. Гонг, И. Е. Шпарлинский для составного $q$ показали, что нетривиальная оценка суммы $T(\chi_q )$ существует, когда $x$ — длина суммы — по порядку меньше $q$. Они доказали: для примитивного характера $\chi_q$ и всякого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$, что для всех $x\ge q^{\frac{8}{9}+\varepsilon}$ имеет место оценка
$$ T(\chi_q )\ll xq^{-\delta}. $$
В 2013 г. З. Х. Рахмонов для составного $q$ и примитивного характера $\chi_q$ доказал нетривиальную оценку $T(\chi_q)$ при $x\ge q^{\frac{5}{6}+\varepsilon}$.
В этой работе для модулей $q$ – свободных от кубов, доказана теорема об оценке суммы $T(\chi_q)$, являющиеся нетривиальной при $x\ge q^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$.
Библиография: 15 названий.

Ключевые слова: характер Дирихле, сдвинутые простые числа, короткая сумма характеров, тригонометрические суммы с простыми числами.

Полный текст: PDF файл (758 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 511.524
Поступила в редакцию: 09.12.2015
Принята в печать:10.03.2016

Образец цитирования: З. Х. Рахмонов, Ш. Х. Мирзорахимов, “Суммы характеров по модулю свободного от кубов на сдвинутых простых”, Чебышевский сб., 17:1 (2016), 201–216

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{RakMir16}
\by З.~Х.~Рахмонов, Ш.~Х.~Мирзорахимов
\paper Суммы характеров по модулю свободного от кубов на сдвинутых простых
\jour Чебышевский сб.
\yr 2016
\vol 17
\issue 1
\pages 201--216
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb464}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=25795083}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb464
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v17/i1/p201

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. З. Х. Рахмонов, “Суммы значений неглавных характеров по последовательности сдвинутых простых чисел”, Аналитическая теория чисел, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения Анатолия Алексеевича Карацубы, Тр. МИАН, 299, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 234–260  mathnet  crossref  elib; Z. Kh. Rakhmonov, “Sums of values of nonprincipal characters over a sequence of shifted primes”, Proc. Steklov Inst. Math., 299 (2017), 219–245  crossref  isi
  • Просмотров:
    Эта страница:145
    Полный текст:43
    Литература:47
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019