RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2016, том 17, выпуск 1, страницы 254–269 (Mi cheb468)  

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Строение конечных полуабелевых $n$-арных групп

Н. А. Щучкин

Волгоградский государственный социально-педагогический университет

Аннотация: Теория $n$-арных групп возникла как обобщение теории обычных (бинарных) групп. Многие определения из теории групп имеют $n$-арный аналог в теории $n$-арных групп. Например, $n$-арными аналогами абелевой группы являются абелева и полуабелева $n$-арные группы. $n$-арная группа $\langle G,f\rangle$ называется полуабелевой, если в ней верно тождество
$$f(x_1,x_2,\ldots,x_{n-1},x_n)=f(x_n,x_2,\ldots,x_{n-1},x_1).$$
Если же в $n$-арной группе $\langle G,f\rangle$ верны тождества
$$ f(x_1,\ldots,x_n)= f(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)}) $$
для любой подстановки $\sigma\in S_n$, то ее называют абелевой.
Имеется тесная связь между группами и $n$-арными группами. Отметим частный случай теоремы Глускин–Хоссу для полуабелевых $n$-арных групп. На любой полуабелевой $n$-арной группе $\langle G,f\rangle$ можно определить абелеву группу $\langle G,+\rangle$, где $a+b=f(a,c,\ldots,c,\bar c,b)$ для $c$ из $G$. Тогда для элемента $d=f(c,\ldots,c)$ и автоморфизма $\varphi(x)=f(c,x,c,\ldots,c,\bar c)$ группы $\langle G,+\rangle$, верны равенства $\varphi(d)=d$, $\varphi^{n-1}(x)=x$ для любого $x\in G$,
$$f(a_1,\ldots,a_n)=a_1+\varphi(a_2)+\ldots+\varphi^{n-2}(a_{n-1})+a_n+d.$$

Группу $\langle G,+\rangle$ называют ретрактом $n$-арной группы $\langle G,f\rangle$ и обозначают $ret_c\langle G,f\rangle$. Верно и обратно: в любой абелевой группе $\langle G,+\rangle$ для выбранных автоморфизма $\varphi$ и элемента $d$ с указанными выше условиями задается полуабелева $n$-арная группа $\langle G,f\rangle$. $n$-арную группу $\langle G,f\rangle$ в этом случае называют ($\varphi, d$)-определенной на группе $\langle G,+\rangle$ и обозначают $der_{\varphi,d}\langle G,+\rangle$.
Пусть $\langle G,f\rangle=der_{\varphi,d}\langle G,+\rangle$ – полуабелева $n$-арная группа. Для каждого автоморфизма $\varphi'$ группы $\langle G,+\rangle$, сопряженного автоморфизму $\varphi$, на группе $\langle G,+\rangle$ рассмотрим эндоморфизм $\mu_{\varphi'}(x)=x+\varphi'(x)+\ldots+{\varphi'}^{n-2}(x).$ $Im \mu_{\varphi'}$ – образ этого эндоморфизма. Пусть $\varphi'=\theta\circ\varphi\circ\theta^{-1}$. Тогда для каждого такого автоморфизма $\theta$ имеем смежный класс $\theta(d)+Im \mu_{\varphi'}$ по подгруппе $Im \mu_{\varphi'}$. Набор $\{\theta(d)+Im \mu_{\varphi'} | \theta\in Aut \langle G,+\rangle \}$ всех таких смежных классов назовем определяющим набором множеств для $n$-арной группы $\langle G,f\rangle$. Доказано, что полуабелевы $n$-арные группы $\langle G,f\rangle=der_{\varphi,d}\langle G,+\rangle$ и $\langle G,f'\rangle=der_{\psi,q}\langle G,+\rangle$ изоморфны тогда и только тогда, когда автоморфизмы $\varphi$ и $\psi$ сопряжены в группе автоморфизмов группы $\langle G,+\rangle$ и определяющие наборы множеств этих $n$-арных групп одинаковые с точностью до перестановки.
В работе изучаются конечные полуабелевы $n$-арные группы. Показано, что любая полуабелева $n$-арная группа $\langle G,f\rangle$ порядка $|G|=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_k^{\alpha_k}$ изоморфна прямому произведению $\langle G_1,f_1\rangle\times\langle G_2,f_2\rangle\times\ldots\times\langle G_k,f_k\rangle$ $n$-арных $p_i$-групп $\langle G_i,f_i\rangle$ порядков $|G_i|=p_i^{\alpha_i}$, где $p_i$ – различные простые числа. Это разложение определено однозначно.
Опираясь на указанное разложение конечной полуабелевой $n$-арной группы в прямое произведение примарных полуабелевых $n$-арных групп и на его единственность, мы приходим к основному утверждению о конечных полуабелевых $n$-арных группах: всякая конечная полуабелева $n$-арная группа изоморфна прямому произведению примарных полуабелевых $n$-арных групп. Любые два таких разложения имеют по одинаковому числу множителей и примарные множители в этих разложениях по одному и тому же простому числу имеют одинаковые инварианты.
Доказана основная теорема о строении конечных абелевых $n$-арных групп: всякая конечная абелева $n$-арная группа изоморфна прямому призведению примарных абелевых полуциклических $n$-арных групп. Любые два таких разложения имеют по одинаковому числу множителей каждого порядка и по каждому простому делителю порядка этой $n$-арной группы произведения примарных множителей в этих разложениях имеют одинаковые инварианты.
Библиография: 18 названий.

Ключевые слова: $n$-арная группа, прямое произведение, автоморфизм.

Полный текст: PDF файл (819 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 512.548
Поступила в редакцию: 29.10.2015
Принята в печать:11.03.2016

Образец цитирования: Н. А. Щучкин, “Строение конечных полуабелевых $n$-арных групп”, Чебышевский сб., 17:1 (2016), 254–269

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Shc16}
\by Н.~А.~Щучкин
\paper Строение конечных полуабелевых $n$-арных групп
\jour Чебышевский сб.
\yr 2016
\vol 17
\issue 1
\pages 254--269
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb468}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=25795088}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb468
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v17/i1/p254

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. Ф. М. Малышев, “Слабо обратимые $n$-квазигруппы”, Чебышевский сб., 19:2 (2018), 304–318  mathnet  crossref  elib
  • Просмотров:
    Эта страница:127
    Полный текст:51
    Литература:44
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020