RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2016, том 17, выпуск 1, страницы 270–283 (Mi cheb469)  

Обобщенная проблема делителей с натуральными числами, имеющими двоичные разложения специального вида

К. М. Эминянab

a Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
b Финансовый университет при Правительстве РФ

Аннотация: Пусть $\tau_k(n)$ — число решений уравнения $x_{1}x_{2}\cdots x_{k}=n$ в натуральных числах $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$ $ x_{k}$. Пусть
$$ D_k(x)=\sum_{n\leqslant x}\tau_k(n). $$
Задача получения асимптотической формулы для $D_k(x)$ при $k=2$ называется проблемой делителей Дирихле, а при $k\geqslant 3$ — обобщенной проблемой делителей Дирихле.
Эта асимптотическая формула имеет вид
$$ D_k (x)=x P_{k-1}(\log x)+O(x^{\alpha_k +\varepsilon}), $$
где $ P_{k-1}(x)$ — многочлен степени $k-1$, $0<\alpha_k<1$, $\varepsilon >0$ — сколь угодно малое число.
Обобщенная проблема делителей Дирихле имеет богатую историю.
В 1849 Л. Дирихле [1] доказал, что
$$ \alpha_k \leqslant 1-\frac{1}{k}, \quad k\geqslant 2. $$
В 1903 году Г.Ф. Вороной [2] доказал, что (см. также [3])
$$ \alpha_k \leqslant 1-\frac{1}{k+1}, \quad k\geqslant 2. $$
В 1922 году Г. Харди и Д. Литтлвуд [4] доказал, что
$$ \alpha_k \leqslant 1-\frac{3}{k+2}, \quad k\geqslant 4. $$
В 1979 году Р. Хис-Браун [5] доказал, что
$$ \alpha_k \leqslant 1-\frac{3}{k}, \quad k\geqslant 8. $$
В 1972 году замечательный результат получил А. А. Карацуба [6]. Его оценка остаточного члена асимптотической формулы имеет вид
$$ O(x^{1-\frac{c}{k^{2/3}}}(c_{1}\log x)^{k}), $$
где $c>0$, $c_1>0$ — абсолютные постоянные.
Эта оценка равномерна по $ 2\leqslant k \leqslant \log x$.
Пусть $\mathbb{N}_{0}$ — класс множества натуральных чисел, двоичного разложения которых содержат четное число единиц. В 1991 автор [8] решил проблему делителей Дирихле в числах из множества $\mathbb{N}_{0}$ и получил формулу
$$ \sum_{\substack{n\leqslant Xn\in \mathbb{N}_{0}}}\tau(n)=\frac{1}{2}\sum_{n\leqslant X}\tau(n)+O(X^{\omega }\ln^{2}X), $$
где $\tau(n)$ — число делителей $n$, $\omega=\frac{1}{2}(1+\log_{2}\sqrt{2+\sqrt{2}})=0.9428\ldots$.
В настоящей статье обобщенная проблема делителей Дирихле решается в числах из множества $\mathbb{N}_{0}$.
Библиография: 15 названий.

Ключевые слова: обобщенная проблема делителей, двоичные разложения, асимптотическая формула, равномерная оценка остаточного члена.

Полный текст: PDF файл (747 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 511
Поступила в редакцию: 18.12.2015
Принята в печать:11.03.2016

Образец цитирования: К. М. Эминян, “Обобщенная проблема делителей с натуральными числами, имеющими двоичные разложения специального вида”, Чебышевский сб., 17:1 (2016), 270–283

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Emi16}
\by К.~М.~Эминян
\paper Обобщенная проблема делителей с натуральными числами, имеющими двоичные разложения специального вида
\jour Чебышевский сб.
\yr 2016
\vol 17
\issue 1
\pages 270--283
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb469}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=25795090}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb469
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v17/i1/p270

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:165
    Полный текст:55
    Литература:36
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020