RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2016, том 17, выпуск 2, страницы 56–63 (Mi cheb479)  

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

О квадратах в специальных множествах конечного поля

М. Р. Габдуллинab

a Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
b Институт математики и механики Уральского отделения Российской академии наук

Аннотация: В теории чисел имеется обширная тематика, связанная с изучением арифметических свойств чисел с “пропущенными цифрами” (т.е. тех чисел, цифры которых в фиксированной системе счисления принадлежат заданному множеству). В настоящей работе изучается аналог таких задач в конечных полях.
Рассмотрим линейное пространство, образованное элементами конечного поля $\mathbb{F}_q$, где $q=p^r$, над $\mathbb{F}_p$. Пусть $\{a_1,\ldots,a_r\}$ — базис этого пространства. Тогда каждый элемент $x\in\mathbb{F}_q$ имеет единственное представление в виде $\sum_{j=1}^r c_ja_j$, где $c_j\in\mathbb{F}_p$; коэффициенты $c_j$ можно назвать “цифрами”. Пусть $\mathcal{D}\subset\mathbb{F}_p$. Рассмотрим множество $W_{\mathcal{D}}$ тех элементов $x\in\mathbb{F}_q$, для которых $c_j\in D$ при всех $1\leq j \leq r$. При этом элементы $\mathcal{D}\setminus\mathbb{F}_p$ можно назвать “пропущенными цифрами”. В недавней работе C. Dartyge, C. Mauduit, A. Sárközy было показано, что если множество $\mathcal{D}$ достаточно велико, то во множестве $W_{\mathcal{D}}$ имеются квадраты. В данной работе исследуется более общая задача. Зафиксируем множества $D_1,\ldots,D_r\subset\mathbb{F}_p$ и пусть $W=W(D_1,\ldots,D_r)$ — множество тех элементов $x\in\mathbb{F}_q$, для которых $c_j\in D_j$ при всех $1\leq j \leq r$. Доказана оценка на количество квадратов во множестве $W$, из которой вытекают следующие два утверждения:
  • если для некоторого $\varepsilon>0$ выполнено $\prod\limits_{i=1}^r|D_i| \geq (2r-1)^rp^{r(1/2+\varepsilon)}$, то справедлива асимптотическая оценка $|W\cap Q|=|W|(\frac12+O(p^{-\varepsilon/2}))$;
  • при $\prod\limits_{i=1}^r |D_i|\geq 8(2r-1)^rp^{r/2}$ во множестве $W$ имеются ненулевые квадраты.

Библиография: 18 названий.

Ключевые слова: конечные поля, квадраты, суммы характеров.

Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 14-11-00702
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).


Полный текст: PDF файл (579 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517
Поступила в редакцию: 05.01.2016
Исправленный вариант: 10.06.2016

Образец цитирования: М. Р. Габдуллин, “О квадратах в специальных множествах конечного поля”, Чебышевский сб., 17:2 (2016), 56–63

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gab16}
\by М.~Р.~Габдуллин
\paper О квадратах в специальных множествах конечного поля
\jour Чебышевский сб.
\yr 2016
\vol 17
\issue 2
\pages 56--63
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb479}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=26254424}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb479
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v17/i2/p56

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. М. Р. Габдуллин, “О квадратах во множестве элементов конечного поля с ограничениями на коэффициенты при разложении по базису”, Матем. заметки, 100:6 (2016), 807–824  mathnet  crossref  mathscinet  elib; M. R. Gabdullin, “On the Squares in the Set of Elements of a Finite Field with Constraints on the Coefficients of Its Basis Expansion”, Math. Notes, 101:2 (2017), 234–249  crossref  isi
  • Просмотров:
    Эта страница:103
    Полный текст:41
    Литература:10

     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019