RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2016, том 17, выпуск 3, страницы 38–52 (Mi cheb496)  

От диофантовых приближений до диофантовых уравнений

А. Д. Брюно

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Аннотация: Пусть в вещественном $n$-мерном пространстве $\mathbb R^n=\{X\}$ задано $m$ однородных вещественных форм $f_i(X)$, $i=1,\dotsc,m$, $2\leqslant m\leqslant n$. Выпуклая оболочка множества значений $G(X)=(|f_1(X)|,\dotsc,|f_m(X)|)\in\mathbb R^m_+$ для целочисленных $X\in\mathbb{Z}^n$ во многих случаях является выпуклым многогранным множеством, граница которого для $||X||<\mathrm{const}$ вычисляется с помощью стандартной программы. Точки $X\in\mathbb{Z}^n$, для которых значения $G(X)$ лежат на этой границе, названы граничными. Они являются наилучшими диофантовыми приближениями для корневых множеств указанных форм. Их вычисление даёт глобальное обобщение цепной дроби. Для $n=3$ обобщить цепную дробь безуспешно пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Брун, Арнольд и многие другие.
Пусть $p(\xi)$ — целый неприводимый в $\mathbb Q$ многочлен степени $n$ и $\lambda$ — его корень. Набор основных единиц кольца $\mathbb{Z}[\lambda]$ можно вычислить по граничным точкам некоторой совокупности линейных и квадратичных форм, построенных по корням многочлена $p(\xi)$. До сих пор эти единицы вычислялись только для $n=2$ (с помощью обычных цепных дробей) и $n=3$ (с помощью алгоритмов Вороного). Каждая единица определяет автоморфизм граничных точек в $\mathbb R^n$ и автоморфизм их образов в $\mathbb R^m_+$. В логарифмической проекции $\mathbb R^m_+$ на $\mathbb R^{m-1}$ можно найти фундаментальную область для группы вторых автоморфизмов, соответствующих единицам.
С помощью этих конструкций можно находить целочисленные решения диофантовых уравнений специального вида. Аналогично вычисляются все указанные объекты для других колец поля $\mathbb{Q}(\lambda)$. Приведены примеры.
Наш подход обобщает цепную дробь, позволяет вычислить наилучшие совместные приближения, основные единицы алгебраических колец поля $\mathbb Q(\lambda)$ и все решения некоторого класса диофантовых уравнений для любого $n$.
Библиография: 16 названий.

Ключевые слова: обобщение цепной дроби, диофантовы приближения, набор основных единиц, фундаментальная область, диофантово уравнение.

Полный текст: PDF файл (780 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.36
Поступила в редакцию: 05.05.2016
Принята в печать:12.09.2016

Образец цитирования: А. Д. Брюно, “От диофантовых приближений до диофантовых уравнений”, Чебышевский сб., 17:3 (2016), 38–52

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bru16}
\by А.~Д.~Брюно
\paper От диофантовых приближений до диофантовых уравнений
\jour Чебышевский сб.
\yr 2016
\vol 17
\issue 3
\pages 38--52
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb496}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=27452081}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb496
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v17/i3/p38

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:151
    Полный текст:58
    Литература:26
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020