О гиперболической дзета-функции Гурвица

В работе рассматривается новый объект исследования — гиперболическая дзета-функция Гурвица, которая задается в правой $\alpha$-полуплоскости $\alpha=\sigma+it$, $\sigma>1$ равенством
$$ \zeta_H(\alpha;d,b)=\sum_{m\in\mathbb Z}( \overline{dm+b} )^{-\alpha}, $$
где $d\neq0$ и $b$ — любое вещественное число.
Гиперболическая дзета-функция Гурвица $\zeta_H(\alpha;d,b)$ при $\|\frac{b}{d}\|>0$ совпадает с гиперболической дзета-функцией сдвинутой одномерной решеткой $\zeta_H(\Lambda(d,b)|\alpha)$. Важность этого класса одномерных решёток обусловлена тем, что каждая декартова решётка представляется объединением конечного числа декартовых произведений одномерных сдвинутых решёток вида $\Lambda(d,b)=d\mathbb{Z}+b$.
Декартовы произведения одномерных сдвинутых решёток — это суть сдвинутые диагональные решётки, для которых в данной работе удается дать наиболее простой вид функционального уравнения для гиперболической дзета-функции этих решёток.
Изучается связь гиперболической дзета-функции Гурвица с периодизированной по параметру $b$ дзета-функцией Гурвица $\zeta^*(\alpha;b)$ и с обычной дзета-функцией Гурвица $\zeta(\alpha;b)$.
Получены новые интегральные представления для этих дзета-функций и аналитическое продолжение слева от прямой $\alpha=1+it$.
Все рассматриваемые гиперболические дзета-функции решёток образуют важный класс рядов Дирихле, непосредственно связанный с развитием теоретико-числового метода в приближенном анализе. Для исследования таких рядов эффективным является применение теоремы Абеля, дающей интегральное представление через несобственные интегралы. Интегрирование по частям этих несобственных интегралов приводят к несобственным интегралам с полиномами Бернулли, которые также исследуются в данной работе.
Библиография: 34 названия.