RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2016, том 17, выпуск 3, страницы 166–177 (Mi cheb504)  

Алгебраическая независимость некоторых почти полиадических рядов

В. Ю. Матвеев


Аннотация: Статья посвящена исследованию арифметической природы значений в целых точках рядов, принадлежащих так называемому классу $F$-рядов, составляющих решение системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами — рациональными функциями от $z$.
Рассматривается подкласс $F$-рядов, который состоит из рядов вида
\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot n! z^n   , \nonumber \end{equation}
у которых $a_n\in \mathbb{Q}$ и $|a_n| \leq e^{c_1 n}$, $n=0,1,…$, где $c_1$ — некоторая постоянная. Кроме того, существует последовательность натуральных чисел $d_n$ таких, что $d_n a_k\in\mathbb{Z},\;k=0,\ldots,n$. При этом $d_n=d_{0,n} d^{n},\;d_{0,n}\in\mathbb{N},\;n=0,1,\ldots,\;d \in\mathbb{N}$ и для любого $n$ число $d_{0,n}$ делится только на простые числа $p$, для которых выполнено неравенство $p\leq c_2n$. Предполагаем также,что степень, в которой число $p$ входит в разложение числа $d_{0,n}$, обозначаемая $ord_pn$, удовлетворяет при всех $n$ неравенству
$$ord_pn\leq c_3(\log_pn+\frac{n}{p^{2}}).$$
При выполнении этих условий говорим, что рассматриваемый ряд принадлежит классу $F(\mathbb{Q},c_1,c_2,c_3,d)$.
Ряды такого вида сходятся в точке $z\in\mathbb Z$, $z\ne 0$, если рассматривать их, как $p$-адические числа при любом простом $p$, кроме быть может конечного числа простых $p$.
Прямое произведение колец целых $p$-адических чисел по всем простым $p$ называется кольцом целых полиадических чисел. Его элементы
\begin{equation} \nonumber \mathfrak{a}=\sum a_n\cdot n! \end{equation}
можно рассматривать, как бесконечномерные векторы, координаты которых, соответствующие полю $\mathbb Q_p$, представляют собой сумму $\mathfrak{a}^{(p)}$ ряда $\mathfrak{a}=\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot n!$ в поле $\mathbb Q_p$.
Для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами определим $P(\mathfrak{a})$ как вектор, координаты которого в поле $\mathbb Q_p$ равны $P(\mathfrak{a}^{(p)})$. Следуя классификации введенной в работах В. Г. Чирского, назовем полиадические числа $\mathfrak{a}_1,\ldots,\mathfrak{a}_m$ бесконечно алгебраически независимыми, если для любого многочлена $P(x_1,\ldots,x_m)$ с целыми коэффициентами, отличного от тождественного нуля, существует бесконечное множество простых чисел $p$ таких, что $P(\mathfrak{a}_1{^{(p)}},\ldots, \mathfrak{a}_m{^{(p)}})\ne 0$ в поле $\mathbb Q_p$.
В статье доказана теорема, утверждающая, что если $F$-ряды $f_1,\ldots,f_m$ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений вида
\begin{equation} \nonumber P_{1,i}y_i^\prime + P_{0,i}y_i = Q_i, i=1,\ldots,m \end{equation}
где $P_{0,i}, P_{1,i}, Q_i$– рациональные функции от $z$ и если $\xi\in\mathbb Z$, $\xi\ne 0$, $\xi$ отлично от полюсов всех этих рациональных функций, то при условии
\begin{equation} \nonumber \exp(\int(\frac{P_{0,i}(z)}{P_{1,i}(z)}-\frac{P_{0,j}(z)}{P_{1,j}(z)})dz)\not\in\mathbb C(z) \end{equation}
$f_1(\xi),\ldots,f_m(\xi)$– бесконечно алгебраически независимые почти полиадические числа.
Используется модификация метода Зигеля–Шидловского и подход В. Х. Салихова к доказательству алгебраической независимости функций, составляющих решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.
Библиография: 30 названий.

Ключевые слова: алгебраическая независимость, почти полиадические числа.

Полный текст: PDF файл (624 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 511.36
Поступила в редакцию: 30.06.2016
Принята в печать:13.09.2016

Образец цитирования: В. Ю. Матвеев, “Алгебраическая независимость некоторых почти полиадических рядов”, Чебышевский сб., 17:3 (2016), 166–177

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mat16}
\by В.~Ю.~Матвеев
\paper Алгебраическая независимость некоторых почти полиадических рядов
\jour Чебышевский сб.
\yr 2016
\vol 17
\issue 3
\pages 166--177
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb504}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=27452089}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb504
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v17/i3/p166

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:48
    Полный текст:13
    Литература:12

     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019