|
Эта публикация цитируется в 9 научных статьях (всего в 9 статьях)
Теоретико-числовой метод в приближенном анализе
С. С. Демидовa, Е. А. Морозоваb, В. Н. Чубариковb, И. Ю. Реброваc, И. Н. Балабаc, Н. Н. Добровольскийd, Н. М. Добровольскийc, Л. П. Добровольскаяe, А. В. Родионовc, О. А. Пихтильковаf a Институт истории естествознания и техники им. С. И. Вавилова Российской академии наук, г. Москва
b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
c Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
d Тульский государственный университет
e Институт экономики и управления
f Оренбургский государственный университет
Аннотация:
В обзоре рассматриваются вопросы истории и
современного развития теоретико-числового метода в приближенном
анализе, основанного в работах Н. М. Коробова и его учеников. Рассмотрена связь теории равномерного распределения и теоретико-числового метода в приближенном анализе. Показано, что предпосылкой возникновения теоретико-числового метода был интегральный критерий Г. Вейля. Разобраны основные типы теоретико-числовых сеток: неравномерные, параллелепипедальные и алгебраические. Освящена деятельность семинара трёх К, приводятся биографические сведения о Н. М. Коробове и краткие сведения о руководителях семинара и его участниках.
Описаны основные направления исследований по теоретико-числовому методу в приближенном анализе. Рассмотрены вопросы информационного обеспечения теоретико-числового метода в приближенном анализе с помощью ПОИВС ТМК.
Более подробно в обзоре излагаются вопросы поиска оптимальных коэффициентов для параллелепипедальных сеток, теории гиперболической дзета-функции решёток, теории алгебраических сеток и её связь с теорией диофантовых приближений.
В частности, обсуждается алгебраическая теория полиномов Туэ. Построение теории опирается на изучение подмодулей $\mathbb Z[t]$-модуля $\mathbb Z[t]^2$. Рассматриваются подмодули, заданные одним определяющим соотношением и одним определяющим соотношением $k$-ого порядка. Более сложным подмодулем является подмодуль заданный одним полиномиальным соотношением. Подмодули пар Туэ $j$-ого порядка напрямую связаны с полиномами Туэ $j$-ого порядка. С помощью алгебраической теории подмодулей пар Туэ $j$-ого порядка удалось получить новое доказательство теоремы М. Н. Добровольского (старшего) о том, что для каждого порядка $j$ существуют два основных полинома Туэ $j$-ого порядка, через которые выражаются все остальные. Основные полиномы определяются с точностью до унимодулярной многочленной матрицы над кольцом целочисленных многочленов.
Рассматриваются дробно-линейные преобразования ТДП-форм. Показано, что при переходе от ТДП-формы, связанной с алгебраическим числом $\alpha$ к ТДП-форме, связанной с остаточной дробью к алгебраическому числу $\alpha$, ТДП-форма преобразуется по закону, аналогичному преобразованию минимальных многочленов, а числители и знаменатели соответствующих пар Туэ преобразуются с помощью дробно-линейного преобразования второго рода.
Кроме этого, обсуждается новая классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей на основе их разложения в цепные дроби.
Показано, что для чисто-вещественных алгебраических иррациональностей $\alpha$ степени $n\ge2$, начиная с некоторого номера $m_0=m_0(\alpha)$, последовательность остаточных дробей $\alpha_m$ является последовательностью приведённых алгебраических иррациональностей.
Найдены рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-линейных преобразований. Композиция этих дробно-линейных преобразований является дробно-линейным преобразование, переводящем систему сопряжённых к алгебраической иррациональности $\alpha$ в систему сопряжённых к остаточной дроби, обладающую ярко выраженным эффектом концентрации около рациональной дроби $-\frac{Q_{m-2}}{Q_{m-1}}$.
Установлено, что последовательность минимальных многочленов для остаточных дробей образует последовательность многочленов с равными дискриминантами.
Перечислены некоторые наиболее актуальные нерешенные проблемы.
Ключевые слова:
теоретико-числовой метод, равномерное распределение, неравномерные сетки, параллелепипедальные сетки, алгебраические сетки, гиперболическая дзета-функция решётки, алгебраическая теория полиномов Туэ, приведённые алгебраические иррациональности, классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей.
DOI:
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-6-85
Полный текст:
PDF файл (21031 kB)
Список литературы:
PDF файл
HTML файл
Реферативные базы данных:
Тип публикации:
Статья
УДК:
511.3+511.9.+51(091) Поступила в редакцию: 25.10.2017 Принята в печать:14.12.2017
Образец цитирования:
С. С. Демидов, Е. А. Морозова, В. Н. Чубариков, И. Ю. Реброва, И. Н. Балаба, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Л. П. Добровольская, А. В. Родионов, О. А. Пихтилькова, “Теоретико-числовой метод в приближенном анализе”, Чебышевский сб., 18:4 (2017), 6–85
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DemMorChu17}
\by С.~С.~Демидов, Е.~А.~Морозова, В.~Н.~Чубариков, И.~Ю.~Реброва, И.~Н.~Балаба, Н.~Н.~Добровольский, Н.~М.~Добровольский, Л.~П.~Добровольская, А.~В.~Родионов, О.~А.~Пихтилькова
\paper Теоретико-числовой метод в приближенном анализе
\jour Чебышевский сб.
\yr 2017
\vol 18
\issue 4
\pages 6--85
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb597}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-6-85}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=30042537}
Образцы ссылок на эту страницу:
http://mi.mathnet.ru/cheb597 http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v18/i4/p6
Citing articles on Google Scholar:
Russian citations,
English citations
Related articles on Google Scholar:
Russian articles,
English articles
Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
-
Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва, “Гипотеза о "заградительном ряде" для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых”, Чебышевский сб., 19:1 (2018), 106–123
-
Н. Н. Добровольский, “Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходимости”, Чебышевский сб., 19:2 (2018), 142–150
-
И. Ю. Реброва, А. В. Кирилина, “Н. М. Коробов и теория гиперболической дзета-функции решёток”, Чебышевский сб., 19:2 (2018), 341–367
-
Н. Н. Добровольский, “О двух асимптотических формулах в теории гиперболической дзета-функции решёток”, Чебышевский сб., 19:3 (2018), 109–134
-
И. Ю. Реброва, В. Н. Чубариков, Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, “О классических теоретико-числовых сетках”, Чебышевский сб., 19:4 (2018), 118–176
-
Н. Н. Добровольский, “Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел”, Чебышевский сб., 20:1 (2019), 148–163
-
Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва, “Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел”, Чебышевский сб., 20:1 (2019), 180–196
-
Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов, “Моноиды натуральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе”, Чебышевский сб., 20:1 (2019), 164–179
-
Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, “Об одном обобщенном эйлеровом произведении, задающем мероморфную функцию на всей комплексной плоскости”, Чебышевский сб., 20:2 (2019), 156–168
|
Просмотров: |
Эта страница: | 230 | Полный текст: | 94 | Литература: | 12 |
|