RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2017, том 18, выпуск 4, страницы 6–85 (Mi cheb597)  

Теоретико-числовой метод в приближенном анализе

С. С. Демидовa, Е. А. Морозоваb, В. Н. Чубариковb, И. Ю. Реброваc, И. Н. Балабаc, Н. Н. Добровольскийd, Н. М. Добровольскийc, Л. П. Добровольскаяe, А. В. Родионовc, О. А. Пихтильковаf

a Институт истории естествознания и техники им. С. И. Вавилова Российской академии наук, г. Москва
b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
c Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
d Тульский государственный университет
e Институт экономики и управления
f Оренбургский государственный университет

Аннотация: В обзоре рассматриваются вопросы истории и современного развития теоретико-числового метода в приближенном анализе, основанного в работах Н. М. Коробова и его учеников. Рассмотрена связь теории равномерного распределения и теоретико-числового метода в приближенном анализе. Показано, что предпосылкой возникновения теоретико-числового метода был интегральный критерий Г. Вейля. Разобраны основные типы теоретико-числовых сеток: неравномерные, параллелепипедальные и алгебраические. Освящена деятельность семинара трёх К, приводятся биографические сведения о Н. М. Коробове и краткие сведения о руководителях семинара и его участниках.
Описаны основные направления исследований по теоретико-числовому методу в приближенном анализе. Рассмотрены вопросы информационного обеспечения теоретико-числового метода в приближенном анализе с помощью ПОИВС ТМК.
Более подробно в обзоре излагаются вопросы поиска оптимальных коэффициентов для параллелепипедальных сеток, теории гиперболической дзета-функции решёток, теории алгебраических сеток и её связь с теорией диофантовых приближений.
В частности, обсуждается алгебраическая теория полиномов Туэ. Построение теории опирается на изучение подмодулей $\mathbb Z[t]$-модуля $\mathbb Z[t]^2$. Рассматриваются подмодули, заданные одним определяющим соотношением и одним определяющим соотношением $k$-ого порядка. Более сложным подмодулем является подмодуль заданный одним полиномиальным соотношением. Подмодули пар Туэ $j$-ого порядка напрямую связаны с полиномами Туэ $j$-ого порядка. С помощью алгебраической теории подмодулей пар Туэ $j$-ого порядка удалось получить новое доказательство теоремы М. Н. Добровольского (старшего) о том, что для каждого порядка $j$ существуют два основных полинома Туэ $j$-ого порядка, через которые выражаются все остальные. Основные полиномы определяются с точностью до унимодулярной многочленной матрицы над кольцом целочисленных многочленов.
Рассматриваются дробно-линейные преобразования ТДП-форм. Показано, что при переходе от ТДП-формы, связанной с алгебраическим числом $\alpha$ к ТДП-форме, связанной с остаточной дробью к алгебраическому числу $\alpha$, ТДП-форма преобразуется по закону, аналогичному преобразованию минимальных многочленов, а числители и знаменатели соответствующих пар Туэ преобразуются с помощью дробно-линейного преобразования второго рода.
Кроме этого, обсуждается новая классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей на основе их разложения в цепные дроби.
Показано, что для чисто-вещественных алгебраических иррациональностей $\alpha$ степени $n\ge2$, начиная с некоторого номера $m_0=m_0(\alpha)$, последовательность остаточных дробей $\alpha_m$ является последовательностью приведённых алгебраических иррациональностей.
Найдены рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-линейных преобразований. Композиция этих дробно-линейных преобразований является дробно-линейным преобразование, переводящем систему сопряжённых к алгебраической иррациональности $\alpha$ в систему сопряжённых к остаточной дроби, обладающую ярко выраженным эффектом концентрации около рациональной дроби $-\frac{Q_{m-2}}{Q_{m-1}}$.
Установлено, что последовательность минимальных многочленов для остаточных дробей образует последовательность многочленов с равными дискриминантами.
Перечислены некоторые наиболее актуальные нерешенные проблемы.

Ключевые слова: теоретико-числовой метод, равномерное распределение, неравномерные сетки, параллелепипедальные сетки, алгебраические сетки, гиперболическая дзета-функция решётки, алгебраическая теория полиномов Туэ, приведённые алгебраические иррациональности, классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей.

Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 16-41-710194_р_центр_а
15-01-01540_a
Работа выполнена по грантам РФФИ № 15-01-01540a, №16-41-710194р_центр_а.


DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-6-85

Полный текст: PDF файл (21031 kB)

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 511.3+511.9.+51(091)
Поступила в редакцию: 25.10.2017
Принята в печать:14.12.2017

Образец цитирования: С. С. Демидов, Е. А. Морозова, В. Н. Чубариков, И. Ю. Реброва, И. Н. Балаба, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Л. П. Добровольская, А. В. Родионов, О. А. Пихтилькова, “Теоретико-числовой метод в приближенном анализе”, Чебышевский сб., 18:4 (2017), 6–85

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DemMorChu17}
\by С.~С.~Демидов, Е.~А.~Морозова, В.~Н.~Чубариков, И.~Ю.~Реброва, И.~Н.~Балаба, Н.~Н.~Добровольский, Н.~М.~Добровольский, Л.~П.~Добровольская, А.~В.~Родионов, О.~А.~Пихтилькова
\paper Теоретико-числовой метод в приближенном анализе
\jour Чебышевский сб.
\yr 2017
\vol 18
\issue 4
\pages 6--85
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb597}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-6-85}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=30042537}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb597
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v18/i4/p6

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:78
    Полный текст:28

     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019