RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2017, том 18, выпуск 4, страницы 168–187 (Mi cheb604)  

О дробных моментах успокоенных $L$-функций Lирихле

С. А. Гриценкоabc

a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
b Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
c Финансовый университет при Правительстве РФ

Аннотация: Пусть $\chi_1(n)$ — характер Дирихле по модулю 5 такой, что $\chi_1(2)=i$,
$$ \varkappa=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}-2}{\sqrt{5}-1}. $$

Функцией Дэвенпорта–Хейльбронна называется функция
$$ f(s)=\frac{1-i\varkappa}{2}L(s,\chi_1)+\frac{1+i\varkappa}{2}L(s,\overline{\chi}_1). $$

Функция $f(s)$ была введена и исследована Дэвенпортом и Хейльбронном в 1936 году. Она удовлетворяет функциональному уравнению риманого типа
$$ g(s)=g(1-s), $$
где $g(s)=(\frac{\pi}{5})^{-s/2}\Gamma(\frac{1+s}{2})f(s)$.
Известно однако, что не все нетривиальные нули $f(s)$ лежат на прямой $\Re s=\frac{1}{2}$.
В области $\Re s>1$, $0<\Im s\le T$ число нулей $f(s)$ превосходит $cT$, где $c>0$ — абсолютная постоянная (Дэвенпорт и Хейльбронн, 1936 г.).
Кроме того, число нулей $f(s)$ в области $\frac{1}{2}<\sigma_1<\Re s<\sigma_2$, $0<\Im s\le T$ превосходит $c_1T$, где $c_1>0$ — абсолютная постоянная (С. М. Воронин, 1976).
В 1980 г. С. М. Воронин доказал, что на критической прямой $\Re s=\frac{1}{2}$ лежит «аномально много» нулей $f(s)$. Пусть $N_{0,f}(T)$ — число нулей $f(s)$ на промежутке $\Re s=\frac{1}{2}$, $0<\Im s\le T$. С. М. Воронин получил оценку
$$ N_{0,f}(T)>c_2T\exp\{\frac{1}{20}\sqrt{\log\log\log\log T}\}, $$
где $c_2>0$ — абсолютная постоянная.
В 1990 году А. А. Карацуба коренным образом усилил оценку С. М. Воронина и получил неравенство
$$ N_{0,f}(T)>T(\log T)^{1/2-\varepsilon}, $$
где $\varepsilon>0$ — произвольно малая постоянная, $T>T_0(\varepsilon)>0$.
В 1994 году А. А. Карацуба получил несколько более точную оценку
$$ N_{0,f}(T)>T(\log T)^{1/2}\exp\{-c_3\sqrt{\log\log T}\}, $$
где $c_3>0$ — абсолютная постоянная.
В 2017 году автор получил следующую оценку
$$ N_{0,f}(T)> T (\log T)^{1/2+1/16-\varepsilon}\quad (\varepsilon>0). $$

В настоящей статье получены новые верхние и нижние оценки дробных моментов успокоенных рядов Дирихле, из которых следует, что
$$ N_{0,f}(T)> T (\log T)^{1/2+1/12-\varepsilon}\quad (\varepsilon>0). $$


Ключевые слова: функция Дэвенпорта–Хейльбронна, нули на критической прямой, дробные моменты успокоенных рядов Дирихле.

DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-167-186

Полный текст: PDF файл (669 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Тип публикации: Статья
УДК: 511.331
Поступила в редакцию: 29.09.2017
Принята в печать:14.12.2017

Образец цитирования: С. А. Гриценко, “О дробных моментах успокоенных $L$-функций Lирихле”, Чебышевский сб., 18:4 (2017), 168–187

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gri17}
\by С.~А.~Гриценко
\paper О дробных моментах успокоенных $L$-функций Lирихле
\jour Чебышевский сб.
\yr 2017
\vol 18
\issue 4
\pages 168--187
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb604}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-167-186}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb604
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v18/i4/p168

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:52
    Полный текст:17
    Литература:9
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019