RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2018, том 19, выпуск 1, страницы 106–123 (Mi cheb625)  

Гипотеза о "заградительном ряде" для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых

Н. Н. Добровольскийa, М. Н. Добровольскийb, Н. М. Добровольскийc, И. Н. Балабаc, И. Ю. Реброваc

a Тульский государственный университет
b Геофизический центр РАН, г. Москва
c Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого

Аннотация: В работе продолжено изучение нового класса рядов Дирихле — дзета-функции моноидов натуральных чисел. Прежде всего детально изучена дзета функция $\zeta(M(q)|\alpha)$ геометрической прогрессии $M(q)$ с первым членом равным 1 и произвольным натуральным знаменателем $q>1$, которая является простейшем моноидом натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы моноида. Для мероморфной функции $\zeta(M(q)|\alpha)=\frac{q^\alpha}{q^\alpha-1}$, имеющей множество полюсов
$$ S(M(q))=\{. \frac{2\pi i k}{\ln q}| k\in\mathbb{Z}\} $$
получены представления:
\begin{gather*} \zeta(M(q)|\alpha)=\frac{q^{\frac{\alpha}{2}}}{\alpha\ln q}\prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{\alpha^2\ln^2 q}{4\pi^2 n^2})^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\alpha\ln q}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\alpha\ln q}{\alpha^2\ln^2 q+4n^2\pi^2}=
=\frac{q^{\frac{\alpha}{2}}\alpha\ln q}{4\pi^2}\Gamma(\frac{\alpha i\ln q }{2\pi})\Gamma(-\frac{\alpha i\ln q }{2\pi}). \end{gather*}

Для дзета-функции $\zeta(M(\vec{p})|\alpha)$ моноида $M(\vec{p})$ с конечным числом простых чисел $\vec{p}=(p_1,\ldots,p_n)$ получено разложение в бесконечное произведение
$$ \zeta(M(\vec{p})|\alpha)=\frac{P(\vec{p})^{\frac{\alpha}{2}}}{\alpha^nQ(\vec{p})}\prod_{\nu=1}^{n}\prod_{m=1}^{\infty}(1+\frac{\alpha^2\ln^2 p_\nu}{4\pi^2 m^2})^{-1}, $$
где $P(\vec{p})=p_1\ldots p_n$, $Q(\vec{p})=\ln p_1\ldots \ln p_n$, и найдено функциональное уравнение
$$ \zeta(M(\vec{p})|-\alpha)=(-1)^n\frac{\zeta(M(\vec{p})|\alpha)}{P(\vec{p})^\alpha}. $$

Для моноида натуральных чисел $M^*(\vec{p})= \mathbb{N}\cdot M^{-1}(\vec{p})$ с однозначным разложением на простые множители, состоящим из натуральных чисел $n$ взаимно простых с $P(\vec{p})=p_1\ldots p_n$, и для эйлерово произведение $P(M^*(\vec{p})|\alpha)$, состоящего из сомножителей по всем простым числам отличным от $p_1,\ldots, p_n$, найдено функциональное уравнение
$$ \zeta(M^*(\vec{p})|\alpha)=M(\vec{p},\alpha) \zeta(M^*(\vec{p})|1-\alpha), $$
где
$$ M(\vec{p},\alpha)=M(\alpha)\cdot\frac{M_1(\vec{p},\alpha)}{M_1(\vec{p},1-\alpha)}, \quad M_1(\vec{p},\alpha)=\prod_{\nu=1}^{n}(1-\frac{1}{p_\nu^\alpha}). $$

Доказано, что для любого бесконечного множества простых $\mathbb{P}_1$ не существует аналитической функции равной
$$\lim\limits_{n\to\infty} \zeta(M(\vec{p}_n)|\alpha)$$
на всей комплексной плоскости.
Сформулирована гипотеза о заградительном ряде для любого экспоненциального множества $PE$ простых чисел.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение, логарифм эйлерова произведения.

Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 16-41-710194_р_центр_а
Работа подготовлена по гранту РФФИ №16-41-710194_р_центр_а.


Полный текст: PDF файл (672 kB)

Тип публикации: Статья
УДК: 511.3

Образец цитирования: Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва, “Гипотеза о "заградительном ряде" для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых”, Чебышевский сб., 19:1 (2018), 106–123

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DobDobDob18}
\by Н.~Н.~Добровольский, М.~Н.~Добровольский, Н.~М.~Добровольский, И.~Н.~Балаба, И.~Ю.~Реброва
\paper Гипотеза о ''заградительном ряде'' для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых
\jour Чебышевский сб.
\yr 2018
\vol 19
\issue 1
\pages 106--123
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb625}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb625
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v19/i1/p106

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:32
    Полный текст:5

     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019