RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2018, том 19, выпуск 2, страницы 15–29 (Mi cheb636)  

Об оценке меры иррациональности чисел вида $\sqrt{4k+3}\ln{\frac{\sqrt{4k+3}+1}{\sqrt{4k+3}-1}}$ и $\frac{1}{\sqrt{k}}\mathrm{arctg} {\frac{1}{\sqrt{k}}}$

М. Г. Башмакова, Е. С. Золотухина

Брянский государственный технический университет

Аннотация: Арифметические свойства значений гипергеометрической функции изучались различными методами, начиная с работы К. Зигеля 1929 г.. Это направление теории диофантовых приближений исследовалось такими авторами как М. Хата [1]-[2], Ф. Аморозо и К. Виола [3], А. Хеймонен, В. Матала-Ахо и К. Ваананен [4]-[5] и многими другими. В последние десятилетия был получен ряд интересных результатов в этой области, усилено много ранее известных оценок меры иррациональности, как для значений гипергеометрической функции, так и для других величин.
В настоящее время одним из широко применяемых подходов при построении оценок показателя иррациональности является использование интегральных конструкций, симметричных относительно какой-либо замены параметров. Симметризованные интегралы и ранее использовались разными авторами, например, в работе Дж. Рина [6], но наиболее активное развитие это направление приобрело после работы В. Х. Салихова [7], получившего с помощью симметризованного интеграла новую оценку для $\ln{3}$. Впоследствии симметричность различного типа позволила доказать ряд значимых результатов. Были получены новые оценки для некоторых значений логарифмической функции, функции $\mathrm{arctg} {x}$, классических констант (см., например, [8] – [18]). В 2014 г., используя общие симметризованные многочлены первой степени вида $At-B$, где $t=(x-d)^2$, К. Ву и Л. Ванг усилили результат В. Х. Салихова о мере иррациональности $\ln{3}$ (см.[19]). В работе [20] идея симметричности была применена к интегралу Р. Марковеккио, доказавшего ранее новую оценку для $\ln{2}$ в [21], что позволило улучшить результат для $\pi/3$.
Данная статья является продолжением работы [22], обобщающей результаты для двух типов симметричных интегральных конструкций. Первая позволяет более эффективно оценить показатели иррациональности чисел вида $\sqrt{d}\ln{\frac{\sqrt{d}+1}{\sqrt{d}-1}}$ при $d=2^{2k+1}, d=4k+1$ для некоторых $k\in\mathbb N$ (см. [22]). Используя данный интеграл, также можно получить оценки меры иррациональности чисел $\sqrt{4k+3}\ln{\frac{\sqrt{4k+3}+1}{\sqrt{4k+3}-1}}, k\in\mathbb N$. Вторая рассматриваемая интегральная конструкция дает возможность оценивать меру иррациональности некоторых значений логарифмической функции, используя симметричность другого типа, что было подробно рассмотрено в [22]. Данный интеграл позволяет также оценивать меру иррациональности значений $\frac{1}{\sqrt{k}}\mathrm{arctg} {\frac{1}{\sqrt{k}}}$. Обобщение этого случая предлагается в данной работе.

Ключевые слова: показатель иррациональности, гипергеометрическая функция Гаусса, симметризованные интегралы.

Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 18-01-00296_а
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №18-01-00296 А.


DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-15-29

Полный текст: PDF файл (445 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 511.36
Поступила в редакцию: 04.07.2018
Принята в печать:17.08.2018

Образец цитирования: М. Г. Башмакова, Е. С. Золотухина, “Об оценке меры иррациональности чисел вида $\sqrt{4k+3}\ln{\frac{\sqrt{4k+3}+1}{\sqrt{4k+3}-1}}$ и $\frac{1}{\sqrt{k}}\mathrm{arctg} {\frac{1}{\sqrt{k}}}$”, Чебышевский сб., 19:2 (2018), 15–29

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BasZol18}
\by М.~Г.~Башмакова, Е.~С.~Золотухина
\paper Об оценке меры иррациональности чисел вида $\sqrt{4k+3}\ln{\frac{\sqrt{4k+3}+1}{\sqrt{4k+3}-1}}$ и $\frac{1}{\sqrt{k}}\mathrm{arctg}\,{\frac{1}{\sqrt{k}}}$
\jour Чебышевский сб.
\yr 2018
\vol 19
\issue 2
\pages 15--29
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb636}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-15-29}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=37112136}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb636
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v19/i2/p15

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:15
    Полный текст:5
    Литература:1
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020