RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2018, том 19, выпуск 2, страницы 67–79 (Mi cheb639)  

Константы Никольского в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1} dx)$

Д. В. Горбачев, Н. Н. Добровольский

Тульский государственный университет

Аннотация: Недавно Арестов, Бабенко, Дейкалова и Horváth установили ряд интересных результатов относительно точной константы Никольского $\mathcal{L}_{\mathrm{even}}(\alpha,p)$ в весовом неравенстве
$$ \sup_{x\in [0,\infty)}|f(x)|\le \mathcal{L}_{\mathrm{even}}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p} (2\int_{0}^{\infty}|f(x)|^{p}x^{2\alpha+1} dx)^{1/p} $$
для подпространства $\mathcal{E}^{\sigma}\cap L^{p}(\mathbb{R}_{+},x^{2\alpha+1} dx)$ четных целых функций $f$ экспоненциального типа не больше $\sigma>0$, где $1\le p<\infty$ и $\alpha\ge -1/2$.
Мы доказываем, что при тех же $\alpha$ и $p$
$$ \mathcal{L}_{\mathrm{even}}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p), $$
где $\mathcal{L}(\alpha,p)$ — точная константа в неравенстве Никольского
$$ \sup_{x\in \mathbb{R}}|f(x)|\le \mathcal{L}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p} (\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^{p}|x|^{2\alpha+1} dx)^{1/p} $$
для произвольных (не обязательно четных) функций $f\in \mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}:=\mathcal{E}^{\sigma}\cap L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1} dx)$.
Также мы даем границы для нормализованной константы Никольского
$$ \mathcal{L}^{*}(\alpha,p):= (2^{2\alpha+2}\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\alpha+2))^{1/p}\mathcal{L}(\alpha,p), $$
которые имеют следующий вид:
$$ \mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\le \lceil p/2\rceil^{\frac{2\alpha+2}{p}},\quad p\in (0,\infty), $$
и для фиксированного $p\in [1,\infty)$
$$ \mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\ge (p/2)^{\frac{2\alpha+2}{p} (1+o(1))},\quad \alpha\to \infty. $$
Верхняя оценка точная тогда и только тогда, когда $p=2$. В этом случае $\mathcal{L}^{*}(\alpha,2)=1$ для каждого $\alpha\ge -1/2$.
Наш подход опирается на одномерный гармонический анализ Данкля. В частности, для доказательства равенства $\mathcal{L}_{\mathrm{even}}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p)$ применяется четный положительный оператор обобщенного сдвига Данкля $T^{t}$, который ограничен в $L^{p}(\mathbb{R},|t|^{2\alpha+1} dt)$ с константой $1$ и инвариантен на подпространстве $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}$.
Доказательство верхней оценки константы $\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)$ основано на оценке норм воспроизводящего ядра подпространства $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$ и мультипликативном неравенстве для константы Никольского. Для получения нижней асимптотической оценки мы рассматриваем нормированную функцию Бесселя $j_{\nu}\in \mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$ порядка $\nu\sim (2\alpha+2)/p$.

Ключевые слова: весовое неравенство Никольского, точная константа, целая функция экспоненциального типа, преобразование Данкля, оператор обобщенного сдвига, воспроизводящее ядро, функция Бесселя.

Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 18-11-00199
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).


DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-67-79

Полный текст: PDF файл (449 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.5
Поступила в редакцию: 03.06.2018
Принята в печать:17.08.2018

Образец цитирования: Д. В. Горбачев, Н. Н. Добровольский, “Константы Никольского в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1} dx)$”, Чебышевский сб., 19:2 (2018), 67–79

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GorDob18}
\by Д.~В.~Горбачев, Н.~Н.~Добровольский
\paper Константы Никольского в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$
\jour Чебышевский сб.
\yr 2018
\vol 19
\issue 2
\pages 67--79
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb639}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-67-79}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=37112139}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb639
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v19/i2/p67

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:30
    Полный текст:6
    Литература:3
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020