Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2018, том 19, выпуск 2, страницы 90–100 (Mi cheb641)  

Об условии удвоения для положительно определенных функций на полуоси со степенным весом

Д. В. Горбачев, В. И. Иванов

Тульский государственный университет

Аннотация: Непрерывные неотрицательные положительно определенные функции удовлетворяют следующему свойству:
\begin{equation} \int_{-R}^{R}f(x) dx\le C(R)\int_{-1}^{1}f(x) dx,\quad R\ge 1, \tag{*} \end{equation}
где наименьшая положительная константа $C(R)$ не зависит от $f$. При $R=2$ это свойство хорошо известно как условие удвоения в нуле. Данные неравенства имеют приложения в теории чисел.
В одномерном случае неравенство ($*$) изучалось Б.Ф. Логаном (1988), а также недавно А. Ефимовым, М. Гаалом и Сц. Ревешем (2017). Было доказано, что $2R-1\le C(R)\le 2R+1$ для $R=2,3,\ldots$, откуда следует, что $C(R)\sim 2R$. Вопрос о точных константах здесь открыт.
Многомерный вариант неравенства ($*$) для евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}$ исследовался Д.В. Горбачевым и С.Ю. Тихоновым (2018). В частности доказано, что для непрерывных положительно определенных функций $f\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}_{+}$
$$ \int_{|x|\le R}f(x) dx\le c_{n}R^{n}\int_{|x|\le 1}f(x) dx, $$
где $c_{n}\le 2^{n}n\ln n (1+o(1))(1+R^{-1})^{n}$ при $n\to \infty$. Отсюда на радиальных функциях получаем одномерное весовое неравенство
$$ \int_{0}^{R}f(x)x^{n-1} dx\le c_{n}R^{n}\int_{0}^{1}f(x)x^{n-1} dx,\quad n\in \mathbb{N}. $$

Мы изучаем следующее естественное весовое обобщение данных неравенств:
$$ \int_{0}^{R}f(x)x^{2\alpha+1} dx\le C_{\alpha}(R)\int_{0}^{1}f(x)x^{2\alpha+1} dx,\quad \alpha\ge -1/2, $$
где $f\colon \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$ — произвольная четная непрерывная положительно определенная функция относительно веса $x^{2\alpha+1}$. Это понятие было введено Б.М. Левитаном (1951) и означает, что для произвольных $x_{1},\ldots,x_{N}\in \mathbb{R}_{+}$ матрица $(T_{\alpha}^{x_i}f(x_j))_{i,j=1}^{N}$ неотрицательно определенная. Здесь $T_{\alpha}^{t}$ — оператор обобщенного сдвига Бесселя–Гегенбауэра. Левитан доказал аналог классической теоремы Бохнера для таких функций, согласно которому $f$ имеет неотрицательное преобразование Ганкеля (в смысле меры).
Мы доказываем, что для каждого $\alpha\ge -1/2$
$$ c_{1}(\alpha)R^{2\alpha+2}\le C_{\alpha}(R)\le c_{2}(\alpha)R^{2\alpha+2},\quad R\ge 1. $$
Нижняя оценка тривиально достигается на функции $f(x)=1$. Для доказательства верхней оценки мы применяем нижние оценки сумм вида $\sum_{k=1}^{m}a_{k}T^{x_{k}}\chi(x)$, где $\chi$ — характеристическая функция отрезка $[0,1]$, а также свойства свертки Бесселя.

Ключевые слова: положительно определенная функция, условие удвоения, преобразование Ганкеля, оператор обобщенного сдвига Бесселя.

Финансовая поддержка
Результаты исследований опубликованы при финансовой поддержке ТулГУ в рамках научного проекта №2017-24ПУБЛ.


DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-90-100

Полный текст: PDF файл (410 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.5
Поступила в редакцию: 29.05.2018
Принята в печать:17.08.2018

Образец цитирования: Д. В. Горбачев, В. И. Иванов, “Об условии удвоения для положительно определенных функций на полуоси со степенным весом”, Чебышевский сб., 19:2 (2018), 90–100

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GorIva18}
\by Д.~В.~Горбачев, В.~И.~Иванов
\paper Об условии удвоения для положительно определенных функций на полуоси со степенным весом
\jour Чебышевский сб.
\yr 2018
\vol 19
\issue 2
\pages 90--100
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb641}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-90-100}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=37112141}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb641
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v19/i2/p90

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:79
    Полный текст:13
    Литература:5
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021