Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2018, том 19, выпуск 2, страницы 319–333 (Mi cheb657)  

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева

Е.И. Деза, Л. В. Варухина

Московский педагогический государственный университет

Аннотация: Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле $f(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$ и сумматорных функций $\Phi(x)=\sum\limits_{n\leq x} a_n$ их коэффициентов. Наиболее известным примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана $\zeta(s)$, определенная для любого комплексного числа $s=\sigma+it$ с действительной частью $\Re s=\sigma> 1$ как $\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.$
Квадрат дзета-функции $ \zeta^{2}(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s},    \Re s >1,$ связян с функцией делителей $\tau(n)=\sum\limits_{d|n}1$, дающей число натуральных делителей натурального числа $n$. Сумматорной функцией ряда Дирихле $\zeta^2(s)$ является функция $D(x)=\sum\limits_{n\leq x}\tau(n)$, вопросы асимптотической оценки которой известны как проблема делителей Дирихле. В общем случае, $ \zeta^{k}(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\tau_k(n)}{n^s},    \Re s>1, $ где функция $\tau_k(n)=\sum\limits_{n=n_1\cdot ...\cdot n_k}1$ дает число представлений натурального числа $n$ в виде произведения $k$ натуральных сомножителей. Cумматорной функцией ряда Дирихле $ \zeta^k(s)$ является функция $D_k(x)=\sum\limits_{n\leq x}\tau_k(n)$. Ее изучение - это многомерная проблема делителей Дирихле.
Логарифмическая производная $\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$ дзета-функции представима в виде $\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}=$ $=-\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s},$ $\Re s >1.$ Здесь $\Lambda(n)$ - функция Мангольдта, которая определяется как $\Lambda(n)=\log p$, если $n=p^{k}$ для простого $p$ и натурального $k$, и как $\Lambda(n)=0$, иначе. Таким образом, функция Чебышева $\psi(x)=\sum\limits_{n\leq x}\Lambda(n)$ является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}$, соответствующего логарифмической производной $\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$ дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими задачами, прежде всего, с асимптотическим законом распределения простых чисел.
В частности, хорошо известно представление функции $\psi(x)$ по нулям дзета-функции: $\psi(x)=x-\sum\limits_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho}}{\rho}+O(\frac{x\ln^{2}x}{T}), $ где $x=n+0,5$, $n \in\mathbb{N}$, $2\leq T \leq x$, и $\rho=\beta+i\gamma$ - нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $\zeta(s)$, лежащие в критической полосе $0< \Re s<1$.
Мы получаем аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, для двух арифметических функций, родственных функции Чебышева:
$$\psi_{1}(x)=\sum\limits_{n\leq x}(x-n)\Lambda(n)   и   \psi_{2}(x)=\sum\limits_{n \leq x}\Lambda(n)\ln\frac{x}{n}.$$
Аналогичные результаты можно получить и для других функций, родственных функции Чебышева, если использовать логарифмические производные $L$-функций Дирихле.

Ключевые слова: арифметические функции, ряд Дирихле, суматорная функция коэффициентов ряда Дирихле, дзета-функция Римана, функция Чебышева, нетривиальные нули дзета-функции Римана, контурное интегрирование.

DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-319-333

Полный текст: PDF файл (422 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517
Поступила в редакцию: 27.04.2018
Принята в печать:17.08.2018

Образец цитирования: Е.И. Деза, Л. В. Варухина, “Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева”, Чебышевский сб., 19:2 (2018), 319–333

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DezVar18}
\by Е.И.~Деза, Л.~В.~Варухина
\paper Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева
\jour Чебышевский сб.
\yr 2018
\vol 19
\issue 2
\pages 319--333
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb657}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-319-333}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=37112157}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb657
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v19/i2/p319

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. С. А. Гриценко, Е.И. Деза, Л. В. Варухина, “О поведении функций, родственных функции Чебышева”, Чебышевский сб., 20:3 (2019), 154–164  mathnet  crossref
    2. Л. В. Варухина, “Избранные вопросы теории сумматорных функций рядов Дирихле”, Чебышевский сб., 20:2 (2019), 55–81  mathnet  crossref
  • Просмотров:
    Эта страница:157
    Полный текст:40
    Литература:6
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021