Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2018, том 19, выпуск 2, страницы 389–406 (Mi cheb662)  

Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 4 статьях)

Об истории оценок константы наилучших совместных диофантовых приближений

Ю. А. Басалов

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого

Аннотация: В данной работе проводится исторический обзор результатов по проблеме оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений для $ n $ действительных чисел. Эта проблема является частным случаем более общей проблемы приближения $ n $ действительных линейных форм и имеет свою богатую историю, восходящую к П. Г. Дирихле. Мы в большей степени остановимся на подходе Г. Дэвенпорта, основанном на связи диофантовых приближений с геометрией чисел.
В первой части дается обзор результатов, полученных для $ n = 1 $ и $ n = 2 $ действительных чисел. Исторически, в основе оценок для $ n = 1 $ лежит теория цепных дробей, и наиболее значимой является оценка А. Гурвица, полученная им в 1891 году. Для $ n = 2 $ в основе известных оценок лежит математический аппарат линейной алгебры (Ф. Фуртвенглер), геометрия чесел (Г. Дэвенпорт, Дж. В. С. Касселс) и результаты многомерных обобщений цепных дробей (В. Адамс, Т. Кьюзик).
Вторая часть посвящена одной из первых общих оценок снизу, полученной в 1929 году Ф. Фуртвенглером. Он построил оценки дискриминантов алгебраических полей, которые приводят к оценке качества приближения $ n $ действительных чисел рациональными, что в свою очередь приводит в оценке константы наилучших совместных диофантовых приближений.
В третьей часть изложена наиболее фундаментальная из известных на данный момент оценок, полученная Г. Дэвенпортом, а затем доработанная Дж. В. С. Касселсом. Г. Дэвенпорт обнаружил связь между значением критического определителя решеток и оценкой некоторых форм. В частном случае, это позволяет вычислив критический определитель специальной решетки, получить значение константы наилучших совместных диофантовых приближений. Однако, вычисление критических определителей для решеток такого вида является сложной задачей. Поэтому Дж. В. С. Касселс перешел от непосредственного вычисления критического определителя, к оценке его значения. Этот подход оказался достаточно плодотворным, позволив получить оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений для $ n = 2, 3, 4 $.
В четвертой части дается обзор известных оценок снизу для $ n > 2 $. Эти результаты основаны на использовании вышеупомянутого подхода Дж. В. С. Касселса. Стоит отметить, что оценки такого рода являются достаточно сложной вычислительной задачей, и в каждом отдельном случае решение такой задачи требовало использования новых подходов.
В последней части мы приведем обзор некотрых известных оценок константы наилучших диофантовых приближений сверху. Хотя данная проблема не является основной темой данной статьи, значительный интерес представляет сравнение подходов при оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений сверху и снизу. Первая оценка сверху была получена Г. Минковским в 1896 году с ипользованием геометрии чисел. Г. Ф. Блихфельдт введя понятие фундаметального параллелепипеда в 1914 году улучшил результат Г. Минковского. Позднее подход Г. Ф. Блихфельдта получил развитие в работах П. Мюллендера, В. Спона, В. Г. Новака.

Ключевые слова: история математики, наилучшие совместные диофантовы приближения, геометрия чисел, звездные тела, критические определители.

Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 16-41-710194_р_центр_а
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ: (грант 16-41-710194_р_центр_а).


DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-389-406

Полный текст: PDF файл (430 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 511.9
Поступила в редакцию: 16.06.2018
Принята в печать:17.08.2018

Образец цитирования: Ю. А. Басалов, “Об истории оценок константы наилучших совместных диофантовых приближений”, Чебышевский сб., 19:2 (2018), 389–406

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bas18}
\by Ю.~А.~Басалов
\paper Об истории оценок константы наилучших совместных диофантовых приближений
\jour Чебышевский сб.
\yr 2018
\vol 19
\issue 2
\pages 389--406
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb662}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-389-406}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=37112162}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb662
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v19/i2/p389

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. Ю. А. Басалов, “Оценка константы наилучших совместных диофантовых приближений для $n=5$ и $n=6$”, Чебышевский сб., 20:1 (2019), 66–81  mathnet  crossref
    2. Ю. А. Басалов, “О методике оценки критических определителей в рамках вопроса оценки константы совместных диофантовых приближений”, Чебышевский сб., 20:2 (2019), 22–38  mathnet  crossref
    3. Ю. А. Басалов, “Оценки константы совместных диофантовых приближений”, Чебышевский сб., 20:3 (2019), 405–429  mathnet  crossref
    4. Ю. А. Басалов, “О русской научной школе диофантовых приближений”, Чебышевский сб., 21:1 (2020), 388–403  mathnet  crossref
  • Просмотров:
    Эта страница:74
    Полный текст:27
    Литература:4
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021