RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2018, том 19, выпуск 3, страницы 95–108 (Mi cheb682)  

О моноиде квадратичных вычетов

Н. Н. Добровольскийab, А. О. Калининаc, М. Н. Добровольскийd, Н. М. Добровольскийb

a Тульский государственный университет
b Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
c Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
d Геофизический центр РАН

Аннотация: В работе изучается дзета-функция моноида квадратичных вычетов по простому модулю $p$. Моноид квадратичных вычетов задается равенством
$$ M_{p,2}=\{a\in\mathbb{N}| (\frac{a}{p})=1.\}=\bigcup_{\nu=1}^{\frac{p-1}{2}}(r_\nu+p\mathbb{N}_0), $$
где $\mathbb{N}_0=\{0\}\bigcup\mathbb{N}$ и $r_1<r_2<\ldots<r_{\frac{p-1}{2}}$ — наименьшая положительная система квадратичных вычетов по модулю $p$, соответственно, $r_{\frac{p+1}{2}}<\ldots<r_{p-1}$ — наименьшая положительная система квадратичных невычетов по модулю $p$.
Множество простых элементов моноида $M_{p,2}$ состоит из множества простых чисел $\mathbb{P}_p^{(1)}$ и множества псевдопростых чисел $\mathbb{P}_p^{(2)}\cdot\mathbb{P}_p^{(2)}$:
$$ P(M_{p,2})=\mathbb{P}_p^{(1)}\bigcup(\mathbb{P}_p^{(2)}\cdot\mathbb{P}_p^{(2)}), $$
где множество простых чисел $\mathbb{P}$ разбивается на два бесконечных подмножества $\mathbb{P}_p^{(\nu)}$ $(\nu=1,2)$ и одноэлементное множество $\{p\}$:
$$ \mathbb{P}=\mathbb{P}_p^{(1)}\bigcup\mathbb{P}_p^{(2)}\bigcup\{p\}, \quad \mathbb{P}_p^{(\nu)}=\{q\in\mathbb{P}|(\frac{q}{p})=3-2\nu.\} \quad (\nu=1,2). $$
Моноид $M_{p,2}$ разлагается в произведение двух взаимно простых моноидов $M_{p,2}=M_{p,2}^{(1)}\cdot$ $\cdot M_{p,2}^{(2)}$, где
$$ M_{p,2}^{(\nu)}=\{a\in M_{p,2}| a=\prod_{j=1}^{n}q_j^{\alpha_j},   q_j\in\mathbb{P}_p^{(\nu)} .\}, \quad \nu=1,2. $$
В статье изучаются свойства функции распределения простых элементов $\pi_{M_{p,2}^{(\nu)}}(x)$ для $\nu=1,2$. Отметим, что $\pi_{M_{p,2}}(x)=\pi_{M_{p,2}^{(1)}}(x)+\pi_{M_{p,2}^{(2)}}(x)$. Показано, что
$$ \pi_{M_{p,2}^{(1)}}(x)=\frac{1}{2}\mathrm{li} x+O(\frac{x^{\beta_1}}{2}+\frac{p-1}2xe^{-c_9\sqrt{\ln x}}) $$
и
$$ \pi_{M_{p,2}^{(2)}}(x)=\frac{x\ln\ln x}{2\ln x}+O(\frac{x}{(1-\beta_1)\ln{x}}), $$
где $\beta_1$ — исключительный ноль исключительного характера $\chi_1$ по модулю $p$.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение.

Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 16-41-710194_р_центр_а
Работа подготовлена по гранту РФФИ №16-41-710194_р_центр_а.


DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-95-108

Полный текст: PDF файл (745 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 511.3
Поступила в редакцию: 30.06.2018
Принята в печать:15.10.2018

Образец цитирования: Н. Н. Добровольский, А. О. Калинина, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, “О моноиде квадратичных вычетов”, Чебышевский сб., 19:3 (2018), 95–108

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DobKalDob18}
\by Н.~Н.~Добровольский, А.~О.~Калинина, М.~Н.~Добровольский, Н.~М.~Добровольский
\paper О моноиде квадратичных вычетов
\jour Чебышевский сб.
\yr 2018
\vol 19
\issue 3
\pages 95--108
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb682}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-95-108}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=39454391}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb682
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v19/i3/p95

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:44
    Полный текст:14
    Литература:2
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020