RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2018, том 19, выпуск 3, страницы 183–201 (Mi cheb687)  

Оценка взвешенных сумм Клоостермана с помощью аддитивного сдвига

М. А. Королёв

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 119991, Москва, ул. Губкина, 8

Аннотация: Аддитивный сдвиг — один из часто используемых приёмов оценки тригонометрических сумм и сумм значений характеров. Он состоит в замене переменной суммирования $n$ выражением вида $n+x$ с последующим суммированием по искусственно введённой переменной $x$. Превращение исходной однократной суммы в кратную открывает дополнительные возможности, позволяющие получить её нетривиальную оценку. Этот приём широко использовался в работах Й. Г. ван дер Корпута, И. М. Виноградова, Д. А. Бёрджесса, А. А. Карацубы и многих других исследователей. Он оказался весьма полезным рабочим инструментом и при работе с суммами значений характеров в конечных полях, а также с кратными тригонометрическими суммами. Э. Фуври и П. Мишель (1998), Ж. Бургейн (2005) стали успешно применять этот приём к оценкам сумм Клоостермана по простому модулю.
Э. Фуври и П. Мишель сочетали аддитивный сдвиг с глубокими результатами, которые получаются средствами алгебраической геометрии. Метод Ж. Бургейна полностью элементарен. Так, его использование позволило автору дать полностью элементарный вывод оценки суммы Клоостермана с простыми числами по простому модулю $q$ в случае, когда длина $N$ такой суммы превосходит $q^{ 1/2+\varepsilon}$.
В настоящей статье даются новые примеры применения аддитивного сдвига к взвешенным суммам Клоостермана вида
$$ \sum\limits_{n\le N}f(n)\exp{(\frac{2\pi ia}{q} (n+b)^{*})},\quad (ab,q)=1,\quad mm^{*}\equiv 1\;(\mathrm{mod} q), $$
где $q$ — простое число, а весовая функция $f(n)$ берётся равной числу $\tau(n)$ делителей $n$ или же количеству $r(n)$ представлений $n$ суммою двух квадратов целых чисел. Полученные оценки нетривиальны уже при $N\ge q^{ 2/3+\varepsilon}$.
Следствием таких оценок являются новые результаты о распределении дробных долей вида
$$ \{\frac{a}{q} (uv+b)^{*}\},\quad \{\frac{a}{q} (u^{2}+v^{2}+b)^{*}\}, $$
в случае, когда целочисленные переменные $u$, $v$ меняются в гиперболической ($uv\le N$) и круговой ($u^{2}+v^{2}\le N$) областях, соответственно.

Ключевые слова: обратные вычеты, суммы Клоостермана, аддитивный сдвиг, функция делителей.

Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 14-11-00433
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант № 14-11-00433).


DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-183-201

Полный текст: PDF файл (725 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 511.321
Поступила в редакцию: 08.06.2018
Принята в печать:15.10.2018

Образец цитирования: М. А. Королёв, “Оценка взвешенных сумм Клоостермана с помощью аддитивного сдвига”, Чебышевский сб., 19:3 (2018), 183–201

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kor18}
\by М.~А.~Королёв
\paper Оценка взвешенных сумм Клоостермана с помощью аддитивного сдвига
\jour Чебышевский сб.
\yr 2018
\vol 19
\issue 3
\pages 183--201
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb687}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-183-201}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=39454396}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb687
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v19/i3/p183

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:77
    Полный текст:12
    Литература:1
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020