RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2018, том 19, выпуск 3, страницы 257–269 (Mi cheb693)  

Об алгебре и арифметике биномиальных и гауссовых коэффициентов

У. М. Пачев

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова

Аннотация: В работе рассматриваются вопросы, касающиеся алгебраических и арифметических свойств таких комбинаторных чисел как биномиальные, полиномиальные и гауссовы коэффициенты.
Для центральных биномиальных коэффициентов $\binom{2p}{p}$ и $\binom{2p-1}{p-1}$ установлено новое свойство сравнимости по модулю $p^3\cdot(2p-1)$, не равному степени простого числа, где $p$ и $(2p-1)$ — простые числа, при этом используется теорема Волстенхолма о том, что при $p \geqslant 5$ эти коэффициенты соответственно сравнимы с числами 2 и 1 по модулю $p^3$.
В части, относящейся к гауссовым коэффициентам $\binom{n}{k}_q$ исследованы алгебраические и арифметические свойства этих чисел. Пользуясь алгебраической интерпретацией гауссовых коэффициентов, установлено, что число $k$-мерных подпространств $n$-мерного векторного пространства над конечным полем из q элементов равно числу $(n-k)$-мерных его подпространств, при этом число $q$ от которого зависит гауссовый коэффициент должно быть степенью простого числа, являющегося характеристикой этого конечного поля.
Получены оценки снизу и сверху для суммы $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}_q$ всех гауссовых коэффициентов, достаточно близкие к ее точному значению (формула для точного значения такой суммы пока ещё не установлена), а также асимптотическая формула при $q \to \infty$. В виду отсутствия удобной производящей функции для гауссовых коэффициентов мы пользуемся исходным определением гауссового коэффициента $\binom{n}{k}_q$, при этом считаем, что $q>1$.
При исследовании арифметических свойств делимости и сравнимости гауссовых коэффициентов используется понятие первообразного корня по данному модулю. Получены условия делимости гауссовых коэффициентов $\binom{p}{k}_q$ и $\binom{p^2}{k}_q$ на простое число $p$, а также вычислена сумма всех этих коэффициентов по модулю простого числа $p$.
В заключительной части приводятся некоторые нерешенные задачи теории чисел, связанные с биномиальными и гауссовыми коэффициентами, которые могут представлять интерес для дальнейших исследований.

Ключевые слова: центральные биномиальные коэффициенты, теорема Волстенхолма, гауссовый коэффициент, сумма гауссовых коэффициентов, делимость на простое число, сравнение по данному модулю, первообразный корень по данному модулю.

DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-257-269

Полный текст: PDF файл (671 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 511.17+519.114
Поступила в редакцию: 30.07.2018
Принята в печать:15.10.2018

Образец цитирования: У. М. Пачев, “Об алгебре и арифметике биномиальных и гауссовых коэффициентов”, Чебышевский сб., 19:3 (2018), 257–269

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pac18}
\by У.~М.~Пачев
\paper Об алгебре и арифметике биномиальных и гауссовых коэффициентов
\jour Чебышевский сб.
\yr 2018
\vol 19
\issue 3
\pages 257--269
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb693}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-257-269}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=39454402}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb693
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v19/i3/p257

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:96
    Полный текст:29
    Литература:4
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021