RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2019, том 20, выпуск 1, страницы 261–271 (Mi cheb731)  

A generalized limit theorem for the periodic Hurwitz zeta-function

[Обобщённая предельная теорема для периодической дзета-функции Гурвица]

A. Rimkevičienė

Šiauliai State College, Lithuania

Аннотация: С времен Бора и Йессена (1910–1935) в теории дзета-фуекций прмменяются вероятностные методы. В 1930 г. они доказали первую теорему для дзета-функции Римана $\zeta(s)$, $s=\sigma+it$, которая является прототипом современных предельных теорем, характеризующих поведение дзета-функции при помощи слабой сходимости вероятностных мер. Более точно, они получили, что при $\sigma>1$ существует предел
$$ \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \mathrm{J} \{t\in[0,T]: \log\zeta(\sigma+it)\in R\}, $$
где $R$ — прямоугольник на комплексной плоскости со сторонами, паралельными осям, а $\mathrm{J}A$ обозначает меру Жордана множества $A\subset \mathbb{R}$. Два года спустя они распространили приведенный результат на полуплоскость $\sigma>\frac{1}{2}$.
Идеи Бора и Йессена были развиты в работах Винтнера, Борщсениуса, Йессена, Сельберга и других известных математиков. Современные версии теорем Бора-Йессена для широкого класса дзета-функций были получены в работах К. Матсумото.
В основном теория Бора-Йессена применялась для дзета-функций, имеющих эйлерово произведение по простым числам. В настоящей статье доказывается предельная теорема для дзета-функций, не имеющих эйлерова произведения и являющихся обобщением классичесской дзета-функции Гурвица. Пусть $\alpha$, $0<\alpha \leqslant 1$, фиксированный параметр, а $\mathfrak{a}=\{a_m: m\in \mathbb{N}_0= \mathbb{N}\cup\{0\}\}$ – периодическая последовательность комплексных чисел. Тогда периодическая дзета-функция Гурвица $\zeta(s,\alpha; \mathfrak{a})$ в полуплоскости $\sigma>1$ определяется рядом Дирихле
$$ \zeta(s,\alpha; \mathfrak{a})=\sum_{m=0}^\infty \frac{a_m}{(m+\alpha)^s} $$
и мероморфно продолжается на всю комплексную плоскость. Пусть $\mathcal{B}(\mathbb{C})$ – борелевское $\sigma$-поле комплексной плоскости, $\mathrm{meas}A$ – мера Лебега измеримого множества $A\subset \mathbb{R}$, а функция $\varphi(t)$ при $t\geqslant T_0$ имеет монотонную положительную производную $\varphi'(t)$, при $t\to\infty$ удовлетворяющую оценкам $(\varphi'(t))^{-1}=o(t)$ и $\varphi(2t) \max_{t\leqslant u\leqslant 2t} (\varphi'(u))^{-1}\ll t$. Тогда в статье получено, что при $\sigma>\frac{1}{2}$
$$ \frac{1}{T} \mathrm{meas}\{t\in[0,T]: \zeta(\sigma+i\varphi(t), \alpha; \mathfrak{a})\in A\},\quad A\in \mathcal{B}(\mathbb{C}), $$
при $T\to\infty$ слабо сходится к некоторой в явном виде заданной вероятностной мере на $(\mathbb{C}, \mathcal{B}(\mathbb{C}))$.

Ключевые слова: дзета-функция Гурвица, мера Хаара, периодическая дзета-функция Гурвица, предельная теорема, слабая сходимость.

DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-1-261-271

Полный текст: PDF файл (666 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Тип публикации: Статья
УДК: 511.3
Поступила в редакцию: 05.12.2018
Принята в печать:10.04.2019
Язык публикации: английский

Образец цитирования: A. Rimkevičienė, “A generalized limit theorem for the periodic Hurwitz zeta-function”, Чебышевский сб., 20:1 (2019), 261–271

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Rim19}
\by A.~Rimkevi{\v{c}}ien{\.e}
\paper A generalized limit theorem for the periodic Hurwitz zeta-function
\jour Чебышевский сб.
\yr 2019
\vol 20
\issue 1
\pages 261--271
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb731}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-1-261-271}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb731
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v20/i1/p261

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:34
    Полный текст:5
    Литература:3
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020