RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2019, том 20, выпуск 1, страницы 284–293 (Mi cheb733)  

Обобщённые суммы Гаусса и многочлены Бернулли

В. Н. Чубариков

Механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, г. Москва

Аннотация: Для периодической арифметической функции с периодом, равным простому числу $q,$ при целых $m,n$ вводится понятие обобщённой суммы Гаусса $G_f(m)$ с символом Лежандра $(\frac nq)$:
$$ G_f(m)=\sum_{n=1}^{q-1}(\frac nq)f(\frac{mn}q). $$
Рассмотрены частные случаи $f(x)=B_\nu(\{x\}), \nu\geq 1,$ где $B_\nu(x)$ — многочлены Бернулли.
В работе используется техника конечных рядов Фурье. Если функция $f(\frac{k}{q})$ определена в точках $k=0,1,\ldots,q-1$, то её можно разложить в конечный ряд Фурье
$$ f(\frac{k}{q})=\sum_{m=0}^{q-1}c_me^{2\pi i\frac{mk}{q}}, \quad c_m=\frac{1}{q}\sum_{k=0}^{q-1}f(\frac{k}{q})e^{-2\pi i\frac{mk}{q}}. $$

С помощью разложения в конечный ряд Фурье обобщённой суммы Гаусса
$$ G_\nu(m)=G_\nu(m;B_\nu)=\sum_{n=1}^{q-1}(\frac nq)B_\nu{(\{x+\frac{mn}q\})} $$
при $\nu=1$ и $\nu=2$ найдены новые формулы, выражающие значение символа Лежандра через полные суммы от периодических функций. Это обстоятельство позволяет получить новые аналитические свойства соответствующих рядов Дирихле и арифметических функций, что будет темой следующих работ.
В работе обнаружено важное свойство сумм $G_1$ и $G_2$, а именно:
$G_1\ne 0,$ если $q\equiv 3\pmod 4$ и $G_1=0,$ если $q\equiv 1\pmod 4;$
$G_2= 0,$ если $q\equiv 3\pmod 4$ и $G_2=\frac 1{q^2}\sum\limits_{n=1}^{q-1}n^2(\frac nq),$ если $q\equiv 1\pmod 4.$

Ключевые слова: Суммы Гаусса, многочлены Бернулли, символ Лежандра.

DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-1-284-293

Полный текст: PDF файл (663 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Тип публикации: Статья
УДК: 511.3
Поступила в редакцию: 01.02.2019
Принята в печать:10.04.2019

Образец цитирования: В. Н. Чубариков, “Обобщённые суммы Гаусса и многочлены Бернулли”, Чебышевский сб., 20:1 (2019), 284–293

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Chu19}
\by В.~Н.~Чубариков
\paper Обобщённые суммы Гаусса и многочлены Бернулли
\jour Чебышевский сб.
\yr 2019
\vol 20
\issue 1
\pages 284--293
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb733}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-1-284-293}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb733
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v20/i1/p284

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:45
    Полный текст:7
    Литература:1
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020