Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2019, том 20, выпуск 2, страницы 221–233 (Mi cheb765)  

Факторно делимые группы и группы без кручения, соответствующие конечным абелевым группам

Е. И. Компанцеваab, А. А. Фоминa

a Московский педагогический государственный университет (г. Москва)
b Финансовый университет при Правительстве РФ (г. Москва)

Аннотация: Категория последовательностей $\mathcal{S}$ была введена в [1, 2, 3]. Объектами категории $\mathcal{S}$ являются конечные последовательности вида $a_{1},\ldots,a_{n}$, где элементы $a_{1},\ldots,a_{n}$ принадлежат конечно представимому модулю над кольцом полиадических чисел $\widehat{{Z}}$. Кольцо полиадических чисел $\widehat{{Z}}=\prod\limits_{p}{\widehat{Z}}_{p}$ – это произведение колец целых $p$-адических чисел по всем простым числам $p$. Морфизмами категории $\mathcal{S}$ из объекта $a_{1},\ldots,a_{n}$ в объект $b_{1},\ldots,b_{k}$ являются все возможные пары $(\varphi, T),$ где $\varphi: \langle a_{1},\ldots,a_{n}\rangle_{\widehat{{Z}}} \rightarrow \langle b_{1},\ldots,b_{k}\rangle_{\widehat{{Z}}}$ – гомоморфизм $\widehat{{Z}}$-модулей, порожденных данными элементами, и $T$ – целочисленная матрица размера $k\times n$, которые удовлетворяют следующему матричному равенству
$$(\varphi a_{1},\ldots,\varphi a_{n})=(b_{1},\ldots,b_{k})T.$$

В [2] доказано, что категория $\mathcal{S}$ эквивалентна категории $\mathcal{D}$ смешанных факторно делимых абелевых групп с отмеченными базисами. В [3] доказано, что категория $\mathcal{S}$ двойственна категории $\mathcal{F}$ абелевых групп без кручения конечного ранга с отмеченными базисами, под базисом мы понимаем здесь любую максимальную линейно независимую систему элементов. Композиция этой эквивалентности и двойственности является двойственностью, введенной в [1] и в [4], которую можно также рассматривать как версию двойственности, введенной в [5].
Если объект категории $\mathcal{S}$ состоит из одного элемента, то ему соответствуют группы ранга 1 в категориях $\mathcal{\mathcal{D}}$ и $\mathcal{F}$. Этот случай разобран в [6]. При этом двойственность $\mathcal{S}\leftrightarrow\mathcal{F}$ дает нам классическое описание Р. Бэра [7] групп без кручения ранга $1$. Эквивалентность $\mathcal{S}\leftrightarrow\mathcal{D}$ согласуется с описанием О. И. Давыдовой [8] факторно делимых групп ранга $1$.
В настоящей статье мы рассматриваем другой вырожденный случай. Любая периодическая абелева группа может рассматриваться как модуль над кольцом полиадических чисел. При этом периодическая группа является конечно представимым $\widehat{{Z}}$-модулем тогда и только тогда, когда она конечна. Следовательно, для любой системы образующих $g_{1},\ldots,{g_{n}}$ любой конечной абелевой группы $G$ последовательность $g_{1},\ldots,{g_{n}}$ является объектом категории $\mathcal{S}$. Более того, такие объекты определяют полную подкатегорию категории $\mathcal{S}$.
В данной статье показано, что объекту $g_{1},\ldots,{g_{n}}$ категории $\mathcal{S}$ соответствует в категории $\mathcal{D}$ факторно делимая группа вида $G\oplus Q^{n}$ с отмеченным базисом $g_{1}+e_{1},\ldots,g_{n}+e_{n}$, где $e_{1},\ldots,{e_{n}}$ – стандартный базис векторного пространства $Q^{n}$ над полем рациональных чисел $Q$. В категории $\mathcal{F}$ данному объекту соответствует свободная группа $A$, удовлетворяющая условиям $Z^{n}\subset A\subset Q^{n}$ и $A/Z^{n}\cong G^{\ast}$, где $G^{\ast}=Hom(G,Q/Z)$ – дуальная группа. Мы также рассматриваем гомоморфизмы групп, соответствующие морфизмам категории $\mathcal{S}$.

Ключевые слова: абелевы группы, модули, двойственные категории.

DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-2-221-233

Полный текст: PDF файл (661 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Тип публикации: Статья
УДК: 517
Поступила в редакцию: 13.02.2019
Принята в печать:12.07.2019

Образец цитирования: Е. И. Компанцева, А. А. Фомин, “Факторно делимые группы и группы без кручения, соответствующие конечным абелевым группам”, Чебышевский сб., 20:2 (2019), 221–233

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KomFom19}
\by Е.~И.~Компанцева, А.~А.~Фомин
\paper Факторно делимые группы и группы без кручения, соответствующие конечным абелевым группам
\jour Чебышевский сб.
\yr 2019
\vol 20
\issue 2
\pages 221--233
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb765}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-2-221-233}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb765
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v20/i2/p221

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:93
    Полный текст:25
    Литература:6
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021