Свойства элементов прямых произведений полей

В статье рассказано об арифметических свойствах значений некоторых $F$-рядов. $F$-ряд — это ряд вида
\begin{equation} \nonumber \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot n! \; z^n, \end{equation}
коэффициенты $a_n$ которого принадлежат некоторому алгебраическому полю $\mathbb K$ конечной степени над полем $\mathbb Q$. При этом наибольшая из абсолютных величин сопряженных с $a_n$ чисел не превосходит величину $e^{C_1 n}$, $n=0,1,\ldots$. Кроме того, существует последовательность натуральных чисел $d_n = d_{0,n} q^n$, $q\in\mathbb N$, такая, что $d_n a_k\in\mathbb Z_{\mathbb K}$, $n=0,1,\ldots$, $k=0,1,\ldots,n$. При этом $d_{0,n}$ делится только на простые числа $p$, $p\leqslant C_2 n$ и
\begin{equation} \nonumber ord_p d_{0,n} \leqslant C_3(\log_p^n + \frac{n}{p^2}). \end{equation}
Устанавливается некоторая общая теорема, подобная теореме В.Х. Салихова для $E$-функций. Эта теорема дает условие алгебраической независимости над $\mathbb C(z)$ для $F$-рядов, каждый из которых является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка. Приведем примеры применения этой общей теоремы к некоторым гипергеометрическим рядам.
Полученные результаты позволяют применять общие теоремы В.Г. Чирского об арифметических свойствах значений $F$-рядов.
В результате получено, что значения рассматриваемых рядов как в алгебраических точках, так и в полиадических точках, хорошо приближаемых натуральными числами, бесконечно алгебраически независимы.
В работе также упомянуты некоторые приложения полиадических и почти полиадических чисел к ряду задач.