Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2019, том 20, выпуск 3, страницы 154–164 (Mi cheb805)  

О поведении функций, родственных функции Чебышева

С. А. Гриценкоa, Е.И. Дезаb, Л. В. Варухинаb

a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (г. Москва)
b Московский педагогический государственный университет (г. Москва)

Аннотация: Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле
$$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$$
и сумматорных функций
$$\Phi(x)=\sum_{n\leq x} a_n$$
их коэффициентов. Наиболее известным примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана $\zeta(s)$, определенная для любого комплексного числа $s=\sigma+it$ с действительной частью $\Re s=\sigma> 1$ как
$$ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}. $$
Квадрат дзета-функции
$$ \zeta^{2}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \qquad \Re s >1, $$
связан с функцией делителей $\tau(n)=\sum_{d|n}1$, дающей число натуральных делителей натурального числа $n$. Сумматорной функцией ряда Дирихле $\zeta^2(s)$ является функция $D(x)=\sum_{n\leq x}\tau(n)$, вопросы асимптотической оценки которой известны как проблема делителей Дирихле. В общем случае,
$$ \zeta^{k}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau_k(n)}{n^s}, \qquad\Re s>1, $$
где функция $\tau_k(n)=\sum_{n=n_1\cdot ...\cdot n_k}1$ дает число представлений натурального числа $n$ в виде произведения $k$ натуральных сомножителей. Cумматорной функцией ряда Дирихле $ \zeta^k(s)$ является функция $D_k(x)=\sum_{n\leq x}\tau_k(n)$. Ее изучение — это многомерная проблема делителей Дирихле.
Логарифмическая производная $\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$ дзета-функции представима в виде
$$ \frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s},\quad\Re s >1. $$
Здесь $\Lambda(n)$функция Мангольдта, которая определяется как $\Lambda(n)=\log p$, если $n=p^{k}$ для простого $p$ и натурального $k$, и как $\Lambda(n)=0$, иначе. Таким образом, функция Чебышева $\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$ является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}, $$
соответствующего логарифмической производной $\displaystyle\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$ дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими задачами, прежде всего, с асимптотическим законом распределения простых чисел.
В частности, хорошо известно представление функции $\psi(x)$ по нулям дзета-функции:
$$ \psi(x)=x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho}}{\rho}+O(\frac{x\ln^{2}x}{T}), $$
где $x=n+0,5$, $n \in\mathbb{N}$, $2\leq T \leq x$, и $\rho=\beta+i\gamma$нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $\zeta(s)$, лежащие в критической полосе $0< \Re s<1$.
Аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, можно получить и для арифметических функций, родственных функции Чебышева, например, для функции $\psi_{1}(x)=\sum_{n\leq x}(x-n)\Lambda(n).$ Именно, в настоящей статье получено представление функции $\psi_1(x)$ по нулям дзета-функции Римана следующего вида:
$$ \psi_1(x)=\frac{x^2}{2}-(\frac{\zeta^{'}(0)}{\zeta(0)})x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho+1}}{\rho(\rho+1)}+O(\frac{x^{2}}{T^2}\ln^2 x)+O(\sqrt{x}\ln^2x),$$
где $x>2$, $T \geq 2$, и $\rho=\beta+i\gamma$нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $\zeta(s)$, лежащие в критической полосе $0< \Re s<1$.

Ключевые слова: арифметические функции, ряд Дирихле, суматорная функция коэффициентов ряда Дирихле, дзета-функция Римана, функция Чебышева, нетривиальные нули дзета-функции Римана, теорема Коши о вычетах.

DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-3-154-164

Полный текст: PDF файл (620 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Тип публикации: Статья
УДК: 517
Поступила в редакцию: 16.10.2019
Принята в печать:12.11.2019

Образец цитирования: С. А. Гриценко, Е.И. Деза, Л. В. Варухина, “О поведении функций, родственных функции Чебышева”, Чебышевский сб., 20:3 (2019), 154–164

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriDezVar19}
\by С.~А.~Гриценко, Е.И.~Деза, Л.~В.~Варухина
\paper О поведении функций, родственных функции Чебышева
\jour Чебышевский сб.
\yr 2019
\vol 20
\issue 3
\pages 154--164
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb805}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-3-154-164}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb805
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v20/i3/p154

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:123
    Полный текст:34
    Литература:6
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021