RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2019, том 20, выпуск 3, страницы 405–429 (Mi cheb822)  

ДОКЛАДЫ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ

Оценки константы совместных диофантовых приближений

Ю. А. Басалов

Тульский государственного педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула)

Аннотация: Данная работа посвящена разработке нового подхода для оценки снизу константы наилучших диофантовых приближений. История вопроса оценки константы наилучших диофантовых приближений восходит к П. Г. Дирихле. С течением времени подходы, применяемые для решения этой задачи претерпели серьезные изменения. Из алгебры (П. Г. Дирихле, А. Гурвиц, Ф. Фуртвенглер) это задача перешла в область геометрии чисел (Г. Дэвенпорт, Дж. В. С. Касселс). Нельзя не отметить такую интересную составляющую данной проблематики, как тесная взаимосвязь диофантовых приближений с геометрией чисел вообще, и алгебраическими решетками в частности (Дж. В. С. Касселс, А. Д. Брюно). Это дало новые возможности, как для применения уже известных результатов, так и для применения новых подходов в проблеме наилучших диофантовых приближений (А. Д. Брюно, Н. Г. Мощевитин).
В середине двадцатого века Г. Дэвенпортом была найдена фундаментальная связь значение константы наилучших совместных диофантовых приближений и критического определителя звездного тела специального вида. Позднее Дж. В. С. Касселс перешел от непосредственного вычисления критического определителя к оценке его значения с помощью вычисления наибольшего значения $V_{n,s}$ – объема параллелепипеда с центром в начале координат обладающего определенными свойствами. Этот подход позволил получить оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений для $ n = 2, 3, 4 $ (см. работы Дж. В. С. Касселса, Т. Кьюзика, С. Красса).
В данной работе, основываясь на описанном выше подходе, получены оценки $ n = 5 $ и $ n = 6 $. Идея построения оценок отличается от работы Т. Кьюзика. С помощью численных экспериментов были получены вначале примерные, а затем и точные значения оценок $ V_{n,s} $. Доказательство этих оценок достаточно громоздко и представляет в первую очередь техническую сложность. Другим отличием постоенных оценок является возможность обобщзить их на любую размерность.
В рамках доказательства оценок константы наилучших диофантовых приближений нами был решен ряд многомерных оптимизационных задач. При их решении мы достаточно активно использовали математический пакет {\ttfamily Wolfram Mathematica}. Эти результаты являются промежуточным шагом для аналиттических доказательств оценок $V_{n,s}$ и константы наилучших диофантовых приближений $C_n$ для $n \geq 3$.
В процессе численных экспериментов была также получена интересная информация о структуре значений $ V_{n,s} $. Эти результаты достаточно хорошо согласуется с результатами полученными в работах С. Красса. Вопрос о структуре значений $ V_{n,s} $ для больших размерностей мало исследован и может представлять значительный интерес как с точки геометрии чисел, так и с точки теории диофантовых приближений.

Ключевые слова: наилучшие совместные диофантовы приближения, геометрия чисел, звездные тела, критические определители.

DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-3-405-429

Полный текст: PDF файл (664 kB)

Тип публикации: Статья
УДК: 511.9
Поступила в редакцию: 09.09.2019
Принята в печать:12.11.2019

Образец цитирования: Ю. А. Басалов, “Оценки константы совместных диофантовых приближений”, Чебышевский сб., 20:3 (2019), 405–429

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bas19}
\by Ю.~А.~Басалов
\paper Оценки константы совместных диофантовых приближений
\jour Чебышевский сб.
\yr 2019
\vol 20
\issue 3
\pages 405--429
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb822}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-3-405-429}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb822
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v20/i3/p405

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:40
    Полный текст:4
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020