RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2020, том 21, выпуск 1, страницы 200–211 (Mi cheb869)  

Kloosterman sums with primes and the solvability of one congruence with inverse residues — II

[Суммы Клоостермана по простым числам и разрешимость одного сравнения с обратными вычетами — II]

M. A. Korolev

Steklov Mathematical Institute of RAS (Moscow)

Аннотация: В настоящей статье продолжены исследования, связанные с распределением обратных вычетов по заданному модулю. Ранее автором был получен ряд нетривиальных оценок коротких сумм Клоостермана с простыми числами, отвечающих произвольному модулю $q$. Следствием таких оценок стали результаты о распределении вычетов $\overline{p}$, обратных простым числам “короткого” промежутка: $p\overline{p}\equiv 1\pmod{q}$, $1<p\leqslant N$, $N\leqslant q^{1-\delta}$, $\delta>0$, и, более общо, о распределении по модулю $q$ величин $g(p) = a\overline{p}+bp$, где $a,b$ – целые числа, $(ab,q)=1$.
Еще одно приложение найденных оценок связано с задачей о представимости произвольного заданного вычета $m\pmod{q}$ суммою $g(p_{1})+\ldots+g(p_{k})$ при фиксированных $a,b$ и $k\geqslant 3$, и простых $1<p_{1},\ldots,p_{k}\leqslant N$. Для количества таких представлений автором была найдена формула, поведение предполагаемого главного члена которой определяется аналогом “сингулярного ряда” классического кругового метода, т.е. некоторой величиной $\kappa$, зависящей от $q$ и набора $k,a,b,m$. При фиксированных $k,a,b,m$ она является мультипликативной функцией $q$. В случае, когда модуль $q$ не делится на 2 или 3, эта величина строго положительна, так что формула для искомого числа представлений является асимптотической.
В настоящей работе исследуется поведение $\kappa$ в случае, когда $q = 3^{n}$. Оказывается, что при любых $n\geqslant 1$, $k\geqslant 3$ существуют “исключительные” тройки $a,b,m$, для которых $\kappa = 0$. Цель работы состоит в описании всех таких троек и нижней оценки величины $\kappa$ для “неисключительных” троек.

Ключевые слова: сравнения, разрешимость, обратные вычеты, суммы Клоостермана, простые числа, сингулярный ряд.

Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 19-11-00001
This work was supported by the Russian Science Foundation under grant 19-11-00001.


DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-21-1-200-211

Полный текст: PDF файл (746 kB)

Тип публикации: Статья
УДК: 511.321
Язык публикации: английский

Образец цитирования: M. A. Korolev, “Kloosterman sums with primes and the solvability of one congruence with inverse residues — II”, Чебышевский сб., 21:1 (2020), 200–211

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kor20}
\by M.~A.~Korolev
\paper Kloosterman sums with primes and the solvability of one congruence with inverse residues~---~II
\jour Чебышевский сб.
\yr 2020
\vol 21
\issue 1
\pages 200--211
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb869}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-21-1-200-211}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb869
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v21/i1/p200

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:9
    Полный текст:3
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020