Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2020, том 21, выпуск 1, страницы 322–340 (Mi cheb876)  

О семействах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел, якобианы которых содержат точки кручения данных порядков

Г. В. Федоров

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

Аннотация: Одной из актуальных современных проблем алгебры и теории чисел является проблема существования и поиска фундаментальных $S$-единиц в гиперэллиптических полях. Проблема существования и поиска $S$-единиц в гиперэллиптических полях эквивалентна разрешимости норменного уравнения — функционального уравнения Пелля — с некоторыми дополнительными условиями на вид этого уравнения и его решения. Существует глубокая связь между точками конечного порядка в якобиевом многообразии (якобиане) гиперэллиптической кривой и нетривиальными $S$-единицами соответствующего гиперэллиптического поля. Эта связь легла в основу предложенного В. П. Платоновым алгебраического подхода к известной фундаментальной проблеме об ограниченности кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых. Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Мазуром в 1970-ых годах. Для кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел проблема кручения оказалась значительно сложнее, и пока далека от своего полного решения. Основные результаты, полученные к настоящему времени в этом направлении, относятся к описанию подгрупп кручения якобиевых многообразий конкретных гиперэллиптических кривых, а также к описанию некоторых семейств гиперэллиптических кривых рода $g \ge 2$.
В данной статье нами найден новый метод исследования разрешимости функциональных норменных уравнений, дающий полное описание гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел, якобиевы многообразия которых обладают точками кручения данных порядков. Наш метод основан на аналитическом изучении представителей дивизоров конечного порядка в группе классов дивизоров степени ноль и их представлений Мамфорда. В качестве иллюстрации работы нашего метода в данной статье непосредственно найдены все параметрические семейства гиперэллиптических кривых рода два над полем рациональных чисел, якобиевы многообразия которых обладают рациональными точками кручения порядков не превосходящих пяти. Более того, наш метод позволяет определить, какому найденному параметрическому семейству принадлежит данная кривая, якобиан которой обладает точкой кручения порядка, не превосходящего пяти.

Ключевые слова: непрерывные дроби, фундаментальные единицы, $S$-единицы, кручение в якобианах, гиперэллиптические поля, дивизоры, группа классов дивизоров.

Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 19-71-00029
Работа выполнена при поддержке РНФ (грант №19-71-00029).


DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-21-1-322-340

Полный текст: PDF файл (735 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Тип публикации: Статья
УДК: 511.6

Образец цитирования: Г. В. Федоров, “О семействах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел, якобианы которых содержат точки кручения данных порядков”, Чебышевский сб., 21:1 (2020), 322–340

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Fed20}
\by Г.~В.~Федоров
\paper О семействах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел, якобианы которых содержат точки кручения данных порядков
\jour Чебышевский сб.
\yr 2020
\vol 21
\issue 1
\pages 322--340
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb876}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-21-1-322-340}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb876
  • http://mi.mathnet.ru/rus/cheb/v21/i1/p322

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:41
    Полный текст:18
    Литература:2
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021