Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сб., 2021, том 22, выпуск 2, страницы 160–182 (Mi cheb919)  

Завершение доказательства теоремы Брунна элементарными средствами

Ф. М. Малышев


Аннотация: Брунн в 1887 году сформулировал теорему о трёх параллельных сечениях выпуклого тела с одинаковыми по площади крайними сечениями, но не получающимися друг из друга параллельным сдвигом, утверждающую, что площадь среднего сечения строго больше, а корректно доказал, как заметил Минковский, что только не меньше. Исключение равенства, считавшегося до сих пор наиболее трудным в теореме, доказывается вплоть до настоящего времени многими авторами, привлекая серьёзную математику. В статье предлагается принципиально иной геометрический подход к доказательству теоремы, благодаря чему для корректного завершения исходного доказательства Брунна можно ограничиться элементарными средствами, доступными школьникам, минуя трудности с равенством, причём предлагаемые рассуждения распространяются на все размерности, как и сама теорема, на что указывал Брунн. Пусть, в общем случае, $V_n(Q)$$n$-мерный объём тела $Q\subset\mathbb{R}^n$, $L_0, L_1$ – параллельные гиперплоскости в $\mathbb{R}^{n+1}$, содержащие соответственно выпуклые тела $P_0, P_1$, а $L$ – паралельная им гиперплоскость, находящаяся строго между ними, и $P$ – пересечение $L$ с выпуклой оболочкой объединения $P_0\cup P_1$. Теорема Брунна утверждает, что если $P_1$ не получается из $P_0$ параллельным переносом и $V_n(P_1)=V_n(P_0)=v>0$, то $V_n(P)>v$. В 1887 году Брунн строго доказал, что $V_n(P)\geqslant v$, используя эффективный приём одновременного одинакового деления объёмов $P_0, P_1$ гиперплоскостью в $\mathbb{R}^{n+1}$. В предлагаемой статье это называется рассечением Брунна. Для строго неравенства $V_n(P)>v$ оставалось небольшим "шевелением" перейти от тела $P_1$ к другому выпуклому телу $\widetilde{P}_1$, $V_n(\widetilde{P}_1)=v$, так, что $V_n(P)>V_n(\widetilde{P})$, где $\widetilde{P}$ – новое сечение в гиперплоскости $L$, возникающее после замены $P_1$ на $\widetilde{P}_1$. Поскольку $V_n(\widetilde{P})\geqslant v$, то $V_n(P)>v$. Проще всего такая замена $P_1$ на $\widetilde{P}_1$ осуществляется в случае выпуклых многогранников $P_0$, которыми можно приближать выпуклые тела сколь угодно близко. Совсем просто требуемая замена $P_1$ на $\widetilde{P}_1$ осуществляется, когда в качестве $P_0$ выступают $n$-мерные симплексы, на которые выпуклый многогранник может разбиваться рассечениями Брунна. До настоящего времени не предлагался очерченный выше достаточно наивный естественный геометрический способ доказательства строгого неравенства $V_n(P)>v$ как бы в лоб может из-за того, что изначально теорема формулировалась не для выпуклых многогранников $P_0, P_1$, а для произвольных выпуклых тел. Главная же причина, по мнению автора, заключается в алгебраическом представлении $P=(1-t)P_0+tP_1$, где $t$ – отношение расстояния от $L_0$ до $L$ к расстоянию от $L_0$ до $L_1$, $0<t<1$. Это приводит к соблазну переходить в доказательствах теоремы от $\mathbb{R}^{n+1}$ к $\mathbb{R}^n$ и использовать эквивалентную формулировку теоремы, считая $L_0=L_1=\mathbb{R}^n$. В результате от ситуации общего положения, когда $L_0\neq L_1$, перешли в особенность $L_0=L_1$, в условиях которой существенно уменьшаются возможности для привлечения геометрической интуиции и, как следствие, уменьшаются возможности для более простых наглядных геометрических обоснований неравенства $V_n(P)>v$. Настоящей статьёй показывается, что при доказательстве теоремы в эквивалентной формулировке следует, напротив, пространство $\mathbb{R}^n$ включать в $\mathbb{R}^{n+1}$ и использовать изначальную формулировку теоремы, когда основным инструментом доказательства элементарными средствами становится рассечение Брунна. Справедливости ради следует отметить, что многочисленные приложения настоящей теоремы, полученные Минковским и другими авторами, связаны как раз c её эквивалентной формулировкой, со смешанными объёмами, с алгебраическими представлениями $P=(1-t)P_0+tP_1$, называемыми суммами Минковского.

Ключевые слова: выпуклые многогранники, симплексы, треугольники, объёмы, неравенство Брунна – Минковского.

DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-22-2-160-182

Полный текст: https:/.../989

Тип публикации: Статья
УДК: 514.172.4+514.177.2

Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/cheb919

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Просмотров:
    Эта страница:7
    Полный текст:2
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021