Асимптотика произведений неотрицательных случайных матриц

Исследуются асимптотические свойства произведения случайных матриц $\xi_k=X_k\cdots X_1$ при $k\to\infty$. Все сомножители $X_i$ независимы и одинаково распределены на заданном конечном множестве неотрицательных матриц $\mathcal{A}=\{A_1,…, A_m\}$. Доказано, что если $\mathcal{A}$ неприводимо, то все ненулевые элементы матрицы $\xi_k$ с вероятностью $1$ имеют одинаковый показатель асимптотического роста при $k\to\infty$, равный максимальному показателю Ляпунова $\lambda(\mathcal{A})$. Это усиливает известные результаты о произведениях случайных неотрицательных матриц и, в частности, снимает ряд дополнительных условий «неразреженности» матриц, предполагавшихся в литературе ранее. Получены обобщения данного результата на приводимые множества. В качестве следствия мы доказываем, что гипотеза Коэна (об асимптотике спектрального радиуса произведений случайных матриц) верна для неотрицательных матриц.