RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Подписка
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Изв. АН СССР. Сер. матем., 1971, том 35, выпуск 4, страницы 731–737 (Mi izv2047)  

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Sur les groupes de congruence des variétés abéliennes. II

[О конгруэнцподгруппах абелевых многообразий. II]

Jean-Pierre Serre


Аннотация: Работа посвящена положительному решению конгруэнц проблемы для абелевых многообразий, определенных над полем алгебраических чисел $k$. Иными словами, доказывается, что любая подгруппа конечного индекса в группе $k$-рациональных точек абелева многообразия содержит подгруппу точек, сравнимых (в естественном смысле) с нулевой точкой по модулю некоторого дивизора поля $k$.
В работе [6] автор редуцировал это утверждение к соотношениям (для любого простого числа $p$)
\begin{equation} H^1(\frak g,V_p)=0 \tag{1} \end{equation}
где $V_p=T_p\otimes\mathbf Q_p$, $T_p$ – модуль Тэйта абелева многообразия, $\mathbf Q_p$ – поле $p$-адических чисел, а $\frak g$ – алгебра Ли той замкнутой подгруппы в группе $GL(V_p)$, которая задается действием группы Галуа алгебраического замыкания поля $k$ в пространстве $V_p$. В $(^6)$ эти соотношения были доказаны для эллиптических кривых и абелевых многообразий $CM$-типа. Теперь они доказываются для произвольного абелева многообразия.
Вот идея доказательства. Рассмотрим произвольный простой дивизор поля $k$, который не делит $p$ и по модулю которого абелево многообразие имеет хорошую редукцию. Обозначим через $F$ автоморфизм Фробениуса, соответствующий этому простому дивизору. Можно считать, что $F\in GL(T_p)$, и тогда логарифмирование определяет соответствующий элемент $x=\log F\in\frak g$.
Из доказанного А. Вейлем аналога гипотезы Римана для абелевых многообразий сразу же следует, что собственные значения эндоморфизма $x$ обладают следующими свойствами: 0 не является собственным значением; сумма и разность собственных значений не является собственным значением. Из первого свойства вытекает, что $x$ является обратимым эндоморфизмом в $V_p$. Поэтому любой одномерный коцикл $f\colon\frak g\to V_p$ можно так изменить в его классе когомологий, что $f(x)=0$. При этом условии определение коцикла дает:
\begin{equation} f([x,y])=x\cdot f(y) \tag{2} \end{equation}
для всех $y\in\frak g$. Иначе говоря, линейное преобразование $f\colon\frak g\to V_p$ коммутирует с $x$, который действует на $V_p$ естественным образом, а на $\frak g$ при помощи присоединенного представления. Легко вычислить, каковы собственные значения $x$, действующего таким образом в $\frak g$. Так как $\frak g\subset\operatorname{End}V_p=V_p\otimes V_p^*$ ($V_p^*$ – дуальное пространство), то все они должны иметь вид $\lambda-\mu$, где $\lambda$ и $\mu$ – собственные значения $x$ при его естественном действии в $V_p$. Ввиду указанного выше свойства собственных значений эндоморфизма $x$ ни одно из этих чисел не совпадает с собственным значением $x$ в $V_p$. Поэтому соотношение (2) показывает, что $f=0$.
В работе доказывается более общее соотношение, чем (1):
$$ H^n(\frak g,V_p)=0 $$
для всех $n\geqslant 0$. Приведенное выше рассуждение заменяется при этом следующим утверждением.
Пусть $\frak g$ – алгебра Ли, $\frak g\subset\operatorname{End}V$, $V$ – конечномерное векторное пространство $x\in\frak g$ и множество $L$ собственных значений эндоморфизма $x$ обладает свойством: если $\lambda_1,…,\lambda_{N+1},\mu_1,…,\mu_N\in L$, то $\lambda_1+…+\lambda_{N+1}\ne\mu_1+…+\mu_N$. Тогда $H^n(\frak g,V)=0$ для всех $n\leqslant N$.
Доказывается, что собственные значения эндоморфизма $x=\log F\in\operatorname{End}V_p$ обладают этими свойствами для всех $N\geqslant 0$.

Полный текст: PDF файл (650 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Англоязычная версия:
Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1971, 5:4, 747–753

Реферативные базы данных:

УДК: 519.44
MSC: Primary 12B20, 14K05; Secondary 14F30, 14G20
Поступило в редакцию: 05.03.1970
Язык публикации: французский

Образец цитирования: Jean-Pierre Serre, “Sur les groupes de congruence des variétés abéliennes. II”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 35:4 (1971), 731–737; Math. USSR-Izv., 5:4 (1971), 747–753

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ser71}
\by Jean-Pierre Serre
\paper Sur les groupes de congruence des vari\'et\'es ab\'eliennes.~II
\jour Изв. АН СССР. Сер. матем.
\yr 1971
\vol 35
\issue 4
\pages 731--737
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/izv2047}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=289513}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0222.14025}
\transl
\jour Math. USSR-Izv.
\yr 1971
\vol 5
\issue 4
\pages 747--753
\crossref{https://doi.org/10.1070/IM1971v005n04ABEH001111}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/izv2047
  • http://mi.mathnet.ru/rus/izv/v35/i4/p731

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
    Цикл статей

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. Ю. Г. Зархин, “Эндоморфизмы абелевых многообразий, круговые расширения и алгебры Ли”, Матем. сб., 201:12 (2010), 93–102  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa  elib; Yu. G. Zarhin, “Endomorphisms of Abelian varieties, cyclotomic extensions and Lie algebras”, Sb. Math., 201:12 (2010), 1801–1810  crossref  isi  elib
    2. Peter Jossen, “On the second Tate–Shafarevich group of a 1-motive”, Algebra Number Theory, 7:10 (2013), 2511  crossref
  • Известия Академии наук СССР. Серия математическая Izvestiya: Mathematics
    Просмотров:
    Эта страница:299
    Полный текст:136
    Литература:34
    Первая стр.:1
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020