Известия Российской академии наук. Серия математическая
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Подписка
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Изв. РАН. Сер. матем., 2008, том 72, выпуск 3, страницы 175–224 (Mi izv2601)  

Игра на универсуме множеств

Д. И. Савельев

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Аннотация: В теории множеств без аксиомы регулярности рассматривается игра двух участников на универсуме множеств. В этой игре игроки выбирают по очереди элемент данного множества, элемент этого элемента и т. д.; игрок выигрывает, если его противник не может сделать никакого следующего хода, т. е. если ему удалось выбрать пустое множество. Выигрышные множества, т. е. множества, допускающие выигрышную стратегию для одного из игроков, образуют естественную иерархию с уровнями, индексированными ординалами (в конечном случае ординал указывает наименьшую длину выигрышной стратегии). Показано, что класс всех наследственно выигрышных множеств является внутренней моделью, содержащей все фундированные множества, и что каждое из четырех возможных неравенств между универсумом, классом наследственно выигрышных множеств и классом фундированных множеств непротиворечиво. Что касается класса выигрышных множеств, либо он совпадает со всем универсумом, либо на нем нарушается много аксиом теории множеств. Несколько неожиданно, что аксиома регулярности не входит в их число: нарушение этой аксиомы совместимо с ее релятивизацией на выигрышные множества. Затем устанавливаются более тонкие свойства выигрышных нефундированных множеств. Описаны все классы ординалов, для которых непротиворечиво, что выигрышные множества без минимальных (в смысле принадлежности) элементов находятся в точности на уровнях, индексированных ординалами данного класса. В частности, показано, что если некоторый четный уровень иерархии выигрышных множеств содержит множество без минимальных элементов, то и все более высокие уровни содержат такие множества; и что нарушение аксиомы регулярности влечет существование множеств без минимальных элементов на всех нечетных уровнях, но совместимо как с их отсутствием на всех четных уровнях, так и с появлением на произвольном четном непредельном или счетно-конфинальном уровне. Для получения результатов о непротиворечивости предложен новый метод построения моделей с нефундированными множествами. Наконец, рассматривается, насколько длинной может быть эта игра в общем случае. Показано, что, хотя существуют игры любой конечной длины, для почти всех (в смысле определенной естественной вероятности) наследственно конечных фундированных множеств игра заканчивается очень быстро: либо за один, либо за три хода. Как следствие, первый игрок выигрывает почти всегда. Этот результат, как и результаты о выигрышных множествах без минимальных элементов, показывает глубокое различие между четно- и нечетно-выигрышными множествами: последние более редки и сложны.
Библиография: 24 наименования.

Ключевые слова: модели теории множеств, нефундированные множества, аксиома регулярности, аксиома выбора, детерминированные игры

DOI: https://doi.org/10.4213/im2601

Полный текст: PDF файл (1115 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2008, 72:3, 581–625

Реферативные базы данных:

УДК: 510.322.2+510.325.2+510.327+510.336
MSC: 03E30, 03C55, 03E25, 03E35, 03E45, 03E55, 03E65, 91A05, 91A43, 91A44
Поступило в редакцию: 20.12.2006

Образец цитирования: Д. И. Савельев, “Игра на универсуме множеств”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:3 (2008), 175–224; Izv. Math., 72:3 (2008), 581–625

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sav08}
\by Д.~И.~Савельев
\paper Игра на универсуме множеств
\jour Изв. РАН. Сер. матем.
\yr 2008
\vol 72
\issue 3
\pages 175--224
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/izv2601}
\crossref{https://doi.org/10.4213/im2601}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2432757}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1145.03027}
\adsnasa{http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2008IzMat..72..581S}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=20358635}
\transl
\jour Izv. Math.
\yr 2008
\vol 72
\issue 3
\pages 581--625
\crossref{https://doi.org/10.1070/IM2008v072n03ABEH002412}
\isi{http://gateway.isiknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=PARTNER_APP&SrcAuth=LinksAMR&DestLinkType=FullRecord&DestApp=ALL_WOS&KeyUT=000257879200007}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=13579389}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-48749100370}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/izv2601
  • https://doi.org/10.4213/im2601
  • http://mi.mathnet.ru/rus/izv/v72/i3/p175

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Известия Российской академии наук. Серия математическая Izvestiya: Mathematics
    Просмотров:
    Эта страница:622
    Полный текст:214
    Литература:40
    Первая стр.:17
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021