RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Модел. и анализ информ. систем:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Модел. и анализ информ. систем, 2017, том 24, номер 5, страницы 578–595 (Mi mais585)  

Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)

Об $n$-мерных симплексах, удовлетворяющих включениям $S\subset [0,1]^n\subset nS$

М. В. Невский, А. Ю. Ухалов

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия

Аннотация: Пусть $n\in{\mathbb N}$, $Q_n=[0,1]^n.$ Для невырожденного симплекса $S\subset {\mathbb R}^n$ через $\sigma S$ обозначим образ $S$ при гомотетии относительно центра тяжести $S$ с коэффициентом $\sigma.$ Под $d_i(S)$ понимается $i$-й осевой диаметр $S$, т. е. максимальная длина отрезка из $S$, параллельного $i$-й координатной оси. Пусть $\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\},$ $\xi_n=\min \{ \xi(S):   S\subset Q_n \}.$ Через $\alpha(S)$ обозначим минимальное $\sigma>0,$ для которого $Q_n$ принадлежит трансляту симплекса $\sigma S$. Рассмотрим квадратную матрицу $\mathbf{A}$ порядка $n+1$, строки которой содержат координаты вершин $S$, а последний столбец состоит из 1. Пусть $\mathbf{A}^{-1}$ $=(l_{ij})$. Через $\lambda_j$ обозначим линейную функцию на ${\mathbb R}^n$, коэффициенты которой составляют $j$-й столбец $\mathbf{A}^{-1}$, т. е. $\lambda_j(x)= l_{1j}x_1+\ldots+ l_{nj}x_n+l_{n+1,j}.$ Ранее первым автором были доказаны равенства $ \frac{1}{d_i(S)}=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n+1} |l_{ij}|, \alpha(S) =\sum_{i=1}^n\frac{1}{d_i(S)}.$ В статье рассматривается случай $S\subset Q_n$. Тогда все $d_i(S)\leq 1$, поэтому $n\leq \alpha(S)\leq \xi(S).$ Если же для некоторого симплекса $S^\prime\subset Q_n$ выполняется $\xi(S^\prime)=n,$ то $\xi_n=n$, $\xi(S^\prime)=\alpha(S^\prime)$ и $d_i(S^\prime)=1$. Однако указанные $S^\prime$ существуют не для всех размерностей. Первое такое значение $n$ равно 2. Для любого двумерного симплекса $\xi(S)\geq \xi_2=1+\frac{3\sqrt{5}}{5}=2.34 \ldots>2$. Справедлива двусторонняя оценка $n\leq \xi_n<n+1$. Равенство $\xi_n=n$ имеет место, если существует матрица Адамара порядка $n+1$. Дальнейшие исследования показали, что $\xi_n=n$ и для ряда других размерностей $n$. В частности, симплексы с условием $S\subset Q_n\subset nS$ были найдены для всех нечётных $n$ в промежутке $1\leq n\leq 11$. В первой части настоящей статьи приводятся новые результаты о симплексах, удовлетворяющих указанным включениям. Доказывается, что если $S\subset Q_n\subset nS$, то центр тяжести $S$ совпадает с центром $Q_n$. Устанавливаются равенства $ \sum_{j=1}^{n+1} |l_{ij}|=2 \quad (1\leq i\leq n), \sum_{i=1}^{n} |l_{ij}|=\frac{2n}{n+1} \quad (1\leq j\leq n+1). $ Приводится ряд следствий. Во второй части статьи обсуждается следующая гипотеза. Пусть для симплекса $S\subset Q_n$ выполняется равенство $\xi(S)=\xi_n$. Тогда $(n-1)$-мерные гиперплоскости, содержащие грани $S$, отсекают от куба $Q_n$ равные по объёму части. Хотя это справедливо для $n=2$ и $n=3$, в общем случае эта гипотеза не верна.

Ключевые слова: $n$-мерный симплекс, $n$-мерный куб, гомотетия, осевой диаметр, интерполяция, проектор, численные методы.

Финансовая поддержка Номер гранта
Работа выполнена при поддержке инициативной НИР ЯрГУ ВИП–008.


DOI: https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-578-595

Полный текст: PDF файл (806 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Англоязычная версия:
Automatic Control and Computer Sciences, 2018, 52:7, 667–679

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 514.17+517.51+519.6
Поступила в редакцию: 10.02.2017

Образец цитирования: М. В. Невский, А. Ю. Ухалов, “Об $n$-мерных симплексах, удовлетворяющих включениям $S\subset [0,1]^n\subset nS$”, Модел. и анализ информ. систем, 24:5 (2017), 578–595; Automatic Control and Computer Sciences, 52:7 (2018), 667–679

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{NevUkh17}
\by М.~В.~Невский, А.~Ю.~Ухалов
\paper Об $n$-мерных симплексах, удовлетворяющих включениям $S\subset [0,1]^n\subset nS$
\jour Модел. и анализ информ. систем
\yr 2017
\vol 24
\issue 5
\pages 578--595
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mais585}
\crossref{https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-578-595}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=30353169}
\transl
\jour Automatic Control and Computer Sciences
\yr 2018
\vol 52
\issue 7
\pages 667--679
\crossref{https://doi.org/10.3103/S0146411618070192}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/mais585
  • http://mi.mathnet.ru/rus/mais/v24/i5/p578

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. А. Ю. Ухалов, М. В. Невский, “Oб оптимальной интерполяции линейными функциями на $n$-мерном кубе”, Модел. и анализ информ. систем, 25:3 (2018), 291–311  mathnet  crossref  elib
    2. А. Ю. Ухалов, М. В. Невский, “Некоторые свойства $0/1$-симплексов”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 18:3 (2018), 305–315  mathnet  crossref  elib
    3. М. В. Невский, “О некоторых задачах для симплекса и шара в ${\mathbb R}^n$”, Модел. и анализ информ. систем, 25:6 (2018), 680–691  mathnet  crossref
  • Моделирование и анализ информационных систем
    Просмотров:
    Эта страница:124
    Полный текст:24
    Литература:11
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019