RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Модел. и анализ информ. систем:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Модел. и анализ информ. систем, 2018, том 25, номер 3, страницы 323–330 (Mi mais631)  

Теория функций

О дифференцируемости по Тейлору в пространствах $L_p, 0<p\leq \infty$

А. Н. Морозов

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003, Россия

Аннотация: Функция $f\in L_p[I], \;p>0,$ называется $(k,p)$-дифференцируемой в точке $x_0\in I,$ если существует алгебраический многочлен $\pi$ степени не больше $k,$ для которого выполняется $ \Vert f-\pi \Vert_{L_p[J_h]} = o(h^{k+\frac{1}{p}}), $ где $\;J_h=[x_0-h; x_0+h]\cap I.$ Во внутренней точке при $k=1$ и $p=\infty$ это равносильно определению обычной дифференцируемости функции. Имеется стандартная «иерархия» существования дифференциалов: если $p_1<p_2,$ то из $(k,p_2)$-дифференцируемости следует $(k,p_1)$-дифференцируемость. В работах С.Н. Бернштейна, А.П. Кальдерона и А. Зигмунда были даны приложения такой конструкции к построению описания функциональных пространств ($p=\infty$) и изучению локальных свойств решений дифференциальных уравнений $(1\le p\le\infty)$ соответственно. Данная статья связана с первой указанной работой. В статье вводится понятие равномерной дифференцируемости. Назовём $(k,p)$-дифференцируемую во всех точках отрезка $I$ функцию $f$ равномерно $(k,p)$-дифференцируемой на $I$, если для любого числа $\varepsilon>0$ найдется число $\delta>0$ такое, что для каждой точки $x\in I$ выполняется $ \Vert f-\pi\Vert_{L_p[J_h]}<\varepsilon\cdot h^{k+\frac{1}{p}} \; $ при $0<h<\delta, \; J_h=[x-h; x+h]\cap I,$ где $\pi$ — многочлен из условия $(k,p)$-дифференцируемости в точке $x$. На основе методов локальных приближений функций алгебраическими многочленами показано, что из равномерной $(k,p)$-дифференцируемости функции $f$ при некотором $1\le p\le\infty$ следует $f\in C^k[I].$ Следовательно, в таком случае дифференциалы «эквивалентны». Поскольку каждая функция из $C^k[I]$ является равномерно $(k,p)$-дифференцируемой на отрезке $I$ при $1\le p\le\infty,$ то получаем определённый критерий принадлежности функции этому пространству. Диапазон $0<p<1,$ очевидно, может быть включён в необходимое условие принадлежности функции $C^k[I]$, однако достаточность дифференцируемости по Тейлору в этом диапазоне пока в полной мере не доказана.

Ключевые слова: дифференцируемость функции по Тейлору, локальные приближения функций.

DOI: https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-323-330

Полный текст: PDF файл (627 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.5
Поступила в редакцию: 15.01.2018

Образец цитирования: А. Н. Морозов, “О дифференцируемости по Тейлору в пространствах $L_p, 0<p\leq \infty$”, Модел. и анализ информ. систем, 25:3 (2018), 323–330

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mor18}
\by А.~Н.~Морозов
\paper О дифференцируемости по Тейлору в пространствах $L_p, 0<p\leq \infty$
\jour Модел. и анализ информ. систем
\yr 2018
\vol 25
\issue 3
\pages 323--330
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mais631}
\crossref{https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-323-330}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=35144414}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/mais631
  • http://mi.mathnet.ru/rus/mais/v25/i3/p323

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Моделирование и анализ информационных систем
    Просмотров:
    Эта страница:38
    Полный текст:16
    Литература:4
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019