|
Модел. и анализ информ. систем, 2018, том 25, номер 6, страницы 680–691
(Mi mais656)
|
|
|
|
Вычислительная геометрия
О некоторых задачах для симплекса и шара в ${\mathbb R}^n$
М. В. Невский Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова,
ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия
Аннотация:
Пусть $C$ — выпуклое тело, $S$ невырожденный симплекс в ${\mathbb R}^n$. Через
$\tau S$ обозначим образ $S$
при гомотетии относительно центра тяжести $S$ с
коэффициентом $\tau$.
Под $\xi(C;S)$ понимается
минимальное $\tau>0,$ для которого $C$ является подмножеством симплекса $\tau S$.
По определению, $\alpha(C;S)$ есть минимальное $\tau>0$, такое что
$C$ принадлежит трансляту симплекса $\tau S$. Ранее автор доказал, что
справедливы равенства
$\xi(C;S)=(n+1)\max\limits_{1\leq j\leq n+1}
\max\limits_{x\in C}(-\lambda_j(x))+1$ \linebreak (если $C\not\subset S$), $\alpha(C;S)=
\sum\limits_{j=1}^{n+1} \max\limits_{x\in C} (-\lambda_j(x))+1.$
Здесь $\lambda_j$ — линейные функции, называемые
базисными многочленами Лагранжа симплекса $S$. Они таковы, что числа
$\lambda_j(x),\ldots, \lambda_{n+1}(x)$ являются барицентрическими
координатами точки $x\in{\mathbb R}^n$.
В предыдущих работах автора указанные формулы исследовались в ситуации,
когда $C$ представляет собой $n$-мерный
единичный куб $Q_n=[0,1]^n$. В статье рассматривается случай, когда
$C$ есть единичный евклидов шар $B_n=\{x: \|x\|\leq 1\},$ где
$\|x\|=(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 )^{1/2}.$ Устанавливаются различные
соотношения
для $\xi(B_n;S)$ и $\alpha(B_n;S)$, а также приводится их геометрическая
интерпретация. Например, если
$\lambda_j(x)=
l_{1j}x_1+\ldots+
l_{nj}x_n+l_{n+1,j},$ то
$\alpha(B_n;S)=
\sum\limits_{j=1}^{n+1}(\sum\limits_{i=1}^n l_{ij}^2)^{1/2}$.
Минимальное возможное значение каждой из величин $\xi(B_n;S)$, $\alpha(B_n;S)$
для $S\subset B_n$ равно $n$ и соответствует правильному симплексу,
вписанному в $B_n$. Даётся сравнение с результатами, полученными ранее
для $C=Q_n$.
Ключевые слова:
$n$-мерный симплекс, $n$-мерный шар, гомотетия,
коэффициент поглощения.
DOI:
https://doi.org/10.18255/1818-1015-680-691
Полный текст:
PDF файл (571 kB)
Список литературы:
PDF файл
HTML файл
Тип публикации:
Статья
УДК:
514.17+517.51+519.6 Поступила в редакцию: 20.09.2018 Исправленный вариант: 30.10.2018
Образец цитирования:
М. В. Невский, “О некоторых задачах для симплекса и шара в ${\mathbb R}^n$”, Модел. и анализ информ. систем, 25:6 (2018), 680–691
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nev18}
\by М.~В.~Невский
\paper О некоторых задачах для симплекса и шара в ${\mathbb R}^n$
\jour Модел. и анализ информ. систем
\yr 2018
\vol 25
\issue 6
\pages 680--691
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mais656}
\crossref{https://doi.org/10.18255/1818-1015-680-691}
Образцы ссылок на эту страницу:
http://mi.mathnet.ru/mais656 http://mi.mathnet.ru/rus/mais/v25/i6/p680
Citing articles on Google Scholar:
Russian citations,
English citations
Related articles on Google Scholar:
Russian articles,
English articles
|
Просмотров: |
Эта страница: | 28 | Полный текст: | 11 | Литература: | 8 |
|