Homogeneous symplectic $4$-manifolds and finite dimensional Lie algebras of symplectic vector fields on the symplectic $4$-space

Мы классифицируем подалгебры конечного типа $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{sp}(V)$ (в смысле теории продолжений Э. Картана) симплектической алгебры $\mathfrak{sp}(V)$ четырехмерного симплектического пространства $V$ и показываем, что все они имеют тривиальное первое продолжение $\mathfrak{h}^{(1)}=0$. Используя этот результат, мы сводим проблему классификации градуированных транзитивных конечномерных алгебр Ли симплектических векторных полей в $V$ к описанию градуированных транзитивных конечномерных подалгебр полных продолжений $\mathfrak{p}^{(\infty)}_1$ и $\mathfrak{p}^{(\infty)}_2$ максимальных параболических подалгебр $\mathfrak{p}_1$ и $\mathfrak{p}_2$ алгебры Ли $\mathfrak{sp}(V)$. При некоторых дополнительных предположениях мы классифицируем такие подалгебры и описываем соответствующие однородные симплектические 4-многообразия $(M = G/K, \omega)$. Мы показываем, что редуктивное однородное симплектическое многообразие (любой размерности) допускает инвариантную симплектическую связность без кручения, т. е. является однородным многообразием Федосова, и приводим условия единственности такой связности. Наконец, доказано, что любая нильпотентная симплектическая группа Ли любой размерности допускает естественную инвариантную связность Федосова, которая при этом является Риччи-плоской.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Czech Science Foundation	18-00496S
PRIN
Università di Bologna
D. A. acknowledges support of the grant n. 18-00496S of the Czech Science Foundation. The research of A. S. is supported by the project "Lie superalgebra theory and its applications"of the University of Bologna and partly supported by the Project Prin 2015 "Moduli spaces and Lie Theory".