Количественные выражения связности множеств в ${\mathbb R}^n$

Доказывается, что для любых двух точек $a$ и $b$ связного множества $E\subset{\mathbb R}^n$ ($n\geqslant 2$) и для любого $\varepsilon>0$ в $E$ найдутся такие точки $x_0=a$, $x_2,…,x_p=b$, что
$$ \|x_1-x_0\|^n+…+\|x_p-x_{p-1}\|^n<\varepsilon. $$
Доказывается, что показатель $n$ в этом утверждении уменьшить нельзя. Невозможность выбрать во множестве $E$ указанную цепочку точек с
$$ \|x_1-x_0\|^\alpha+…+\|x_p-x_{p-1}\|^\alpha<\varepsilon $$
для некоторого $\alpha\in (1,n)$ оказывается эквивалентной существованию непостоянной функции $f\colon E\to {\mathbb R}$ из класса $\operatorname{Lip}_\alpha(E)$. Для каждого такого $\alpha$ в ${\mathbb R}^n$ строится такая кривая $E(\alpha)$ хаусдорфовой размерности $\alpha$ и такая непостоянная функция $f\colon E(\alpha)\to {\mathbb R}$, что $f\in\operatorname{Lip}_\alpha(E(\alpha))$.
Библиография: 3 названия.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований	14-01-00510 14-01-91158 15-01-08335 15-01-08335
Министерство образования и науки Российской Федерации	НШ-3682.2014.1
Фонд Дмитрия Зимина «Династия»
Работа первого автора выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №№ 14-01-00510, 14-01-91158, 15-01-08335), Программы Президента РФ поддержки ведущих научных школ (грант № НШ-3682.2014.1) и фонда Дмитрия Зимина “Династия”; работа второго автора выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 15-01-08335).

^† Автор для корреспонденции