О коограниченности функций на торе

Исследуется вопрос о разрешимости функционального гомологического уравнения
\begin{equation} f(x)-\int_{\mathbf T}f(t)\frac{dt}{2\pi}=\varphi(x+2\pi\alpha)-\varphi(x),\qquad x \operatorname{mod}2\pi . \end{equation}

\smallskip Теорема 1. {\itshape Пусть $r\ge\gamma\ge1$, $\liminf\limits_{j\in\mathbb N} j^\gamma\|\alpha j\|>0$, $1<p\le\infty$, $f\in W_p^r(\mathbf T)$. Тогда существует функция $\varphi\in\bigcap_{1\le q<\infty}L_q(\mathbf T)$, которая удовлетворяет уравнению $(1)$. }
\smallskip Теорема 2. {\itshape Для любого иррационального $\alpha$ существует абсолютно непрерывная функция $f$, $\int_{\mathbf T}f(t)dt=0$, и последовательность натуральных чисел $n_j$ такие, что $\sum_{k=0}^{n_j-1}f(x+2\pi\alpha k)$ расходится по мере, в то время как последовательность дробных частей $\{n_j\alpha\}$ сходится.}
Библиография: 13 названий.