Константы Лебега и приближение функций прямоугольными суммами Фурье в $L^p(T^m)$

Пусть $\Pi=\{x:|x_j|\leqslant\gamma_j\}$ – прямоугольный параллелепипед из $R^m$, $r\Pi$ – его гомотет с коэффициентом $r>0$; $E_r(f)_p$ – наилучшее приближение функции $f\in L^p([0,2\pi)^m)$ тригонометрическими полиномами со спектром из $r\Pi$ в метрике $L^p([0,2\pi)^m)$; $S_R(f;x)$ – прямоугольная сумма Фурье функции $f$ из $L^p([0,2\pi)^m)$; для любой функции $\varepsilon=\varepsilon_r(r\geqslant0)$, $\varepsilon_r\downarrow0(r\to\infty)$, $\varepsilon_{r'}=\varepsilon_{r"}$ при $r'\Pi\cap\mathbf Z^m=r"\Pi\cap\mathbf Z^m$ определяется класс
$$ L_\varepsilon^p=\{f\in L^p([0,2\pi)^m):E_r(f)_p\leqslant\varepsilon_r (r\geqslant0)\}. $$

Установлено, что
$$ \sup_{f\in L_\varepsilon^p}\|f-S_R(f)\|_p\asymp_{m,\gamma}\varepsilon_R+\int^s_0\varepsilon_{R+r}\frac{\ln^{m-1}(r+2)}{r+1} dr, $$
где $s=\min\{R,e^\theta\}$, $\theta=p-1$ при $2\leqslant p\leqslant\infty$, $1/(p-1)$ при $1\leqslant p\leqslant2$. Получены также точные порядковые оценки констант Лебега $\mathscr L_R(p)$ прямоугольных сумм Фурье с постоянными, зависящими только от $m$. Библ. 10 назв.