Оценки снизу модуля логарифмической производной многочлена

Устанавливаются оценки меры сечения произвольной прямой множества
$$ E_\delta=ż:|P'(z)/(nP(z))|\le\delta\}\quad(\delta>0), $$
где $P(z)$ — многочлен степени $n$.
ТЕОРЕМА. {\em Пусть $P(x)=(x-x_1)…(x-x_n)$ — многочлен с вещественными нулями. Тогда для всякого $\delta>0$ на любом отрезке $a\le x\le b$, содержащем все точки $x_k$ $(k=1,2,…,n)$, вне исключительного множества $E_\delta\subset[a,b]$ такого, что
$$ \operatorname{mes}E_\delta\le(\sqrt{1+\delta^2(b-a)^2}-1)/\delta, $$
выполняется неравенство}
$$ |P'(x)/(nP(x))|>\delta. $$

Приводится аналогичная оценка для многочленов, корни которых лежат либо в $\operatorname{Im}z\ge0$, либо в $\operatorname{Im}z\le0$. Библ. 6 назв.