RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Пробл. анал. Issues Anal.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Пробл. анал. Issues Anal., 2018, том 7(25), выпуск 1, страницы 87–103 (Mi pa226)  

Coefficient problems on the class $U(\lambda)$

Saminathan Ponnusamya, Karl-Joachim Wirthsb

a Department of Mathematics, Indian Institute of Technology Madras, Chennai-600 036, India
b Institut für Analysis und Algebra, TU Braunschweig, 38106 Braunschweig, Germany

Аннотация: For $0<\lambda \leq 1$, let ${\mathcal U}(\lambda)$ denote the family of functions $f(z)=z+\sum\limits_{n=2}^{\infty}a_nz^n$ analytic in the unit disk $\mathbb{D}$ satisfying the condition $|(\frac{z}{f(z)})^{2}f'(z)-1|<\lambda $ in $\mathbb{D}$. Although functions in this family are known to be univalent in $\mathbb{D}$, the coefficient conjecture about $a_n$ for $n\geq 5$ remains an open problem. In this article, we shall first present a non-sharp bound for $|a_n|$. Some members of the family ${\mathcal U}(\lambda)$ are given by
$$ \frac{z}{f(z)}=1-(1+\lambda)\phi(z) + \lambda (\phi(z))^2 $$
with $\phi(z)=e^{i\theta}z$, that solve many extremal problems in ${\mathcal U}(\lambda)$. Secondly, we shall consider the following question: Do there exist functions $\phi$ analytic in $\mathbb{D}$ with $|\phi (z)|<1$ that are not of the form $\phi(z)=e^{i\theta}z$ for which the corresponding functions $f$ of the above form are members of the family ${\mathcal U}(\lambda)$? Finally, we shall solve the second coefficient ($a_2$) problem in an explicit form for $f\in {\mathcal U}(\lambda)$ of the form
$$f(z) =\frac{z}{1-a_2z+\lambda z\int\limits_0^z\omega(t) dt}, $$
where $\omega$ is analytic in $\mathbb{D}$ such that $|\omega(z)|\leq 1$ and $\omega(0)=a$, where $a\in \overline{\mathbb{D}}$.

Ключевые слова: Univalent function; subordination; Julia's lemma; Schwarz' lemma.

DOI: https://doi.org/10.15393/j3.art.2018.4730

Полный текст: PDF файл (372 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Тип публикации: Статья
УДК: 517.54
MSC: 30C45
Поступила в редакцию: 26.12.2017
Исправленный вариант: 10.03.2018
Язык публикации: английский

Образец цитирования: Saminathan Ponnusamy, Karl-Joachim Wirths, “Coefficient problems on the class $U(\lambda)$”, Пробл. анал. Issues Anal., 7(25):1 (2018), 87–103

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PonWir18}
\by Saminathan~Ponnusamy, Karl-Joachim~Wirths
\paper Coefficient problems on the class $U(\lambda)$
\jour Пробл. анал. Issues Anal.
\yr 2018
\vol 7(25)
\issue 1
\pages 87--103
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/pa226}
\crossref{https://doi.org/10.15393/j3.art.2018.4730}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/pa226
  • http://mi.mathnet.ru/rus/pa/v25/i1/p87

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Проблемы анализа — Issues of Analysis
    Просмотров:
    Эта страница:28
    Полный текст:10
    Литература:2

     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018