Склеивание вероятностных распределений и экстремальная задача для дивергенции

Пусть $X$ и $Y$ – дискретные случайные величины, имеющие распределения вероятностей $P_X$ и $P_Y$. Получены необходимые и достаточные условия существования $\alpha$-склеивания этих случайных величин, т.е. существования их совместного распределения, такого что $\operatorname{Pr}\{X=Y\}=\alpha$, где $\alpha$ – заданная константа, $0\le\alpha\le1$. Данная задача тесно связана с проблемой нахождения минимумов дивергенций $D(P_Z \| P_X)$ и $D(P_X \| P_Z)$ по всем распределениям вероятностей $P_Z$ случайной величины $Z$ при заданном $P_X$ и при условии, что $\operatorname{Pr}Ż=X\}=\alpha$. Для этой задачи также получено явное решение.