|
Эта публикация цитируется в 79 научных статьях (всего в 79 статьях)
Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака
П. Б. Джаковa, Б. С. Митягинb
a Sofia University St. Kliment Ohridski, Faculty of Mathematics and Computer Science
b Ohio State University
Аннотация:
Спектры операторов Шрёдингера и Дирака с периодическим потенциалом на прямой $\mathbb R$ имеют зонную структуру, т.е. интервалы непрерывного спектра перемежаются спектральными лакунами, или зонами неустойчивости. Размеры этих зон убывают, и скорость этого убывания зависит от гладкости потенциала. Можно идти и в другую сторону и делать заключение о гладкости потенциала на основании того, как быстро убывают зоны неустойчивости. На уровне бесконечно-дифференцируемых или аналитических функций это явление в случае операторов Шрёдингера было понято в 60-е и 70-е годы. Однако только недавно соотношение между гладкостью потенциала и скоростью убывания зон неустойчивости в полном объеме было понято и проанализировано
- в широком диапазоне классов дифференцируемых функций,
- для операторoв Дирака, а не только для операторов Шрёдингера–Хилла,
- как в самосопряженном, так и в несамосопряженном случае.
Обзору этих результатов, часто с полными доказательствами, основанными на развитой авторами методологии, и посвящена эта статья.
Библиография: 84 названия.
DOI:
https://doi.org/10.4213/rm2121
 Полный текст:
PDF файл (1396 kB)
Список литературы:
PDF файл
HTML файл
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2006, 61:4, 663–766
Реферативные базы данных:
     
УДК:
517.927+517.984
MSC: Primary 47E05, 34L40, 34L20; Secondary 34B05, 34L10
Поступила в редакцию: 23.04.2006
Образец цитирования:
П. Б. Джаков, Б. С. Митягин, “Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака”, УМН, 61:4(370) (2006), 77–182; Russian Math. Surveys, 61:4 (2006), 663–766
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DjaMit06}
\by П.~Б.~Джаков, Б.~С.~Митягин
\paper Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и~Дирака
\jour УМН
\yr 2006
\vol 61
\issue 4(370)
\pages 77--182
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/umn2121}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm2121}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2279044}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1128.47041}
\adsnasa{http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2006RuMaS..61..663D}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=25787314}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2006
\vol 61
\issue 4
\pages 663--766
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM2006v061n04ABEH004343}
\isi{http://gateway.isiknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=PARTNER_APP&SrcAuth=LinksAMR&DestLinkType=FullRecord&DestApp=ALL_WOS&KeyUT=000243358100003}
\scopus{http://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-33846275865}
Образцы ссылок на эту страницу:
http://mi.mathnet.ru/umn2121https://doi.org/10.4213/rm2121 http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v61/i4/p77
Citing articles on Google Scholar:
Russian citations,
English citations
Related articles on Google Scholar:
Russian articles,
English articles
Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
-
Sakhnovich A., “Skew-self-adjoint discrete and continuous Dirac-type systems: inverse problems and Borg-Marchenko theorems”, Inverse Problems, 22:6 (2006), 2083–2101
-
Kuchment P., Post O., “On the spectra of carbon nano-structures”, Commun. Math. Phys., 275:3 (2007), 805–826
-
Kuksin S.B., Piatnitski A.L., “Khasminskii-Whitham averaging for randomly perturbed KdV equation”, J. Math. Pures Appl. (9), 89:4 (2008), 400–428
-
Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, С. А. Шабров, “Осцилляционная теория Штурма–Лиувилля для импульсных задач”, УМН, 63:1(379) (2008), 111–154
 ; Yu. V. Pokornyi, M. B. Zvereva, S. A. Shabrov, “Sturm–Liouville oscillation theory for impulsive problems”, Russian Math. Surveys, 63:1 (2008), 109–153 -
Pöschel J., “Spectral gaps of potentials in weighted Sobolev spaces”, Hamiltonian dynamical systems and applications, NATO Sci. Peace Secur. Ser. B Phys. Biophys., Springer, Dordrecht, 2008, 421–430
-
О. А. Велиев, А. А. Шкаликов, “О базисности Рисса собственных и присоединенных функций периодической и антипериодической задач Штурма–Лиувилля”, Матем. заметки, 85:5 (2009), 671–686 ; O. A. Veliev, A. A. Shkalikov, “On the Riesz Basis Property of the Eigen- and Associated Functions of Periodic and Antiperiodic Sturm–Liouville Problems”, Math. Notes, 85:6 (2009), 647–660
-
Hassi S., Oridoroga L., “Theorem of completeness for a Dirac-type operator with generalized $\lambda$-depending boundary conditions”, Integral Equations Operator Theory, 64:3 (2009), 357–379
-
Djakov P., Mityagin B., “Spectral gaps of Schrodinger operators with periodic singular potentials”, Dyn. Partial Differ. Equ., 6:2 (2009), 95–165
-
Kappeler T., Pöschel J., “On the periodic KdV equation in weighted Sobolev spaces”, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 26:3 (2009), 841–853
-
Gesztesy F., Tkachenko V., “A criterion for Hill operators to be spectral operators of scalar type”, J. Anal. Math., 107 (2009), 287–353
-
Kappeler T., Serier F., Topalov P., “On the characterization of the smoothness of skew-adjoint potentials in periodic Dirac operators”, J. Funct. Anal., 256:7 (2009), 2069–2112
-
Djakov P., Mityagin B., “Spectral gap asymptotics of one-dimensional Schrodinger operators with singular periodic potentials”, Integral Transforms Spec. Funct., 20:3-4 (2009), 265–273
-
Маламуд M.M., Оридорога Л.Л., “О полноте системы корневых векторов для систем первого порядка”, Докл. РАН, 435:3 (2010), 298–304 ; Malamud M.M., Oridoroga L.L., “On the completeness of the root vectors of first-order systems”, Dokl. Math., 82:3 (2010), 899–904
-
Щербаков А.О., “Метод подобных операторов и регуляризованный след одномерного несамосопряженного оператора Дирака”, Вестн. Воронежского гос. ун-та. Сер.: Физ. Матем., 2010, № 1, 180–189
-
Korotyaev E.L., Kargaev P., “Estimates for periodic Zakharov-Shabat operators”, J. Differential Equations, 249:1 (2010), 76–93
-
Djakov P., Mityagin B., “Bari-Markus property for Riesz projections of 1D periodic Dirac operators”, Math. Nachr., 283:3 (2010), 443–462
-
А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, “Обратные задачи для оператора Штурма–Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость”, Функц. анализ и его прил., 44:4 (2010), 34–53 ; A. M. Savchuk, A. A. Shkalikov, “Inverse Problems for Sturm–Liouville Operators with Potentials in Sobolev Spaces: Uniform Stability”, Funct. Anal. Appl., 44:4 (2010), 270–285
-
Djakov P., Mityagin B., “Fourier method for one-dimensional Schrödinger operators with singular periodic potentials”, Topics in operator theory. Volume 2. Systems and mathematical physics, Oper. Theory Adv. Appl., 203, Birkhäuser Verlag, Basel, 2010, 195–236
-
Veliev O.A., “On the basis property of the root functions of differential operators with matrix coefficients”, Cent. Eur. J. Math., 9:3 (2011), 657–672
-
Джаков П.Б., Митягин Б.С., “Сходимость спектральных разложений операторов Хилла с тригонометрическими многочленами как потенциалы”, Докл. РАН, 436:1 (2011), 11–13 ; Djakov P.B., Mityagin B.S., “Convergence of spectral decompositions of Hill operators with trigonometric polynomial potentials”, Dokl. Math., 83:1 (2011), 5–7
-
Poeschel J., “Hill's potentials in weighted Sobolev spaces and their spectral gaps”, Math. Ann., 349:2 (2011), 433–458
-
А. Г. Баскаков, А. В. Дербушев, А. О. Щербаков, “Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:3 (2011), 3–28 ; A. G. Baskakov, A. V. Derbushev, A. O. Shcherbakov, “The method of similar operators in the spectral analysis of non-self-adjoint Dirac operators with non-smooth potentials”, Izv. Math., 75:3 (2011), 445–469
-
Djakov P., Mityagin B., “Convergence of spectral decompositions of Hill operators with trigonometric polynomial potentials”, Math. Ann., 351:3 (2011), 509–540
-
Bronski J.C., Rapti Z., “Counting defect modes in periodic eigenvalue problems”, SIAM J. Math. Anal., 43:2 (2011), 803–827
-
Бурлуцкая М.Ш., “Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций функционально-дифференциального оператора с инволюцией”, Вестн. Воронежского гос. ун-та. Сер. Физ. Матем., 2011, № 2, 64–72
-
Kerimov N.B., Kaya U., “Spectral properties of some regular boundary value problems for fourth order differential operators”, Centr. Eur. J. Math., 2012
-
Gesztesy F., Tkachenko V., “A Schauder and Riesz basis criterion for non-self-adjoint Schrödinger operators with periodic and antiperiodic boundary conditions”, Journal of Differential Equations, 2012
-
Бурлуцкая М.Ш., Курдюмов В.П., Хромов А.П., “Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы дирака”, Доклады академии наук, 443:4 (2012), 414–414 ; M. Sh. Burlutskaya, V. P. Kurdyumov, A. P. Khromov, “Refined asymptotic formulas for eigenvalues and eigenfunctions of the Dirac system”, Dokl. Math, 85:2 (2012), 240
-
Mark M. Malamud, Leonid L. Oridoroga, “On the completeness of root subspaces of boundary value problems for first order systems of ordinary differential equations”, Journal of Functional Analysis, 2012
-
М. Ш. Бурлуцкая, В. П. Курдюмов, А. П. Хромов, “Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака с недифференцируемым потенциалом”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 12:3 (2012), 22–30
-
М. Ш. Бурлуцкая, В. В. Корнев, А. П. Хромов, “Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и периодическими краевыми условиями”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:9 (2012), 1621–1632
-
Anahtarci B., Djakov P., “Refined Asymptotics of the Spectral Gap for the Mathieu Operator”, J. Math. Anal. Appl., 396:1 (2012), 243–255
-
Djakov P., Mityagin B., “Criteria for Existence of Riesz Bases Consisting of Root Functions of Hill and 1D Dirac Operators”, J. Funct. Anal., 263:8 (2012), 2300–2332
-
Djakov P., Mityagin B., “Equiconvergence of Spectral Decompositions of 1D Dirac Operators with Regular Boundary Conditions”, J. Approx. Theory, 164:7 (2012), 879–927
-
Джаков П.Б., Митягин Б.С., “Равносходимость спектральных разложений операторов Хилла”, Доклады академии наук, 445:5 (2012), 498–498 ; P. B. Djakov, B. S. Mityagin, “Equiconvergence of spectral decompositions of Hill operators”, Dokl. Math, 86:1 (2012), 542
-
Djakov P., Mityagin B., “Unconditional Convergence of Spectral Decompositions of 1D Dirac Operators with Regular Boundary Conditions”, Indiana Univ. Math. J., 61:1 (2012), 359–398
-
O.A.. Veliev, “Asymptotic analysis of non-self-adjoint Hill operators”, centr.eur.j.math, 2013
-
В. В. Корнев, А. П. Хромов, “Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и антипериодическими краевыми условиями”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 13:3 (2013), 28–35
-
Batal A., “Characterization of Potential Smoothness and the Riesz Basis Property of the Hill-Schrodinger Operator in Terms of Periodic, Antiperiodic and Neumann Spectra”, J. Math. Anal. Appl., 405:2 (2013), 453–465
-
Djakov P., Mityagin B., “Divergence of Spectral Decompositions of Hill Operators with Two Exponential Term Potentials”, J. Funct. Anal., 265:4 (2013), 660–685
-
Djakov P., Mityagin B., “Equiconvergence of Spectral Decompositions of Hill-Schrodinger Operators”, J. Differ. Equ., 255:10 (2013), 3233–3283
-
Djakov P., Mityagin B., “Riesz Bases Consisting of Root Functions of 1D Dirac Operators”, Proc. Amer. Math. Soc., 141:4 (2013), 1361–1375
-
Kerimov N.B., “On a Boundary Value Problem of N. I. Ionkin Type”, Differ. Equ., 49:10 (2013), 1233–1245
-
N.B.. Kerimov, Ufuk Kaya, “Some problems of spectral theory of fourth-order differential operators with regular boundary conditions”, Arab J Math, 3:1 (2014), 49
-
Cemile Nur, O.A. Veliev, “On the basis property of the root functions of some class of non-self-adjoint Sturm-Liouville operators”, Bound Value Probl, 2014:1 (2014), 57
-
M. Sh. Burlutskaya, A. P. Khromov, “Functional differential operators with involution and Dirac operators with periodic boundary conditions”, Dokl. Math, 89:1 (2014), 8
-
J.-C. Molnar, “New Estimates of the Nonlinear Fourier Transform for the Defocusing NLS Equation”, International Mathematics Research Notices, 2014
-
A. D. Baev, M. B. Zvereva, S. A. Shabrov, “Stieltjes differential in nonlinear momentum problems”, Dokl. Math, 90:2 (2014), 613
-
P. Djakov, B. Mityagin, “Riesz basis property of Hill operators with potentials in weighted spaces”, Тр. ММО, 75, № 2, МЦНМО, М., 2014, 181–204 ; Trans. Moscow Math. Soc., 75 (2014), 151–172
-
Е. Ю. Романова, “Спектральный анализ дифференциального оператора с инволюцией”, Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ., 14:4 (2014), 64–78 ; E. Yu. Romanova, “Spectral Analysis of Differential Operator with Involution”, J. Math. Sci., 213:6 (2016), 897–909
-
Kerimov N.B., Kaya U., “Spectral Asymptotics and Basis Properties of Fourth Order Differential Operators With Regular Boundary Conditions”, Math. Meth. Appl. Sci., 37:5 (2014), 698–710
-
A.A.rslan K{\i}raç, “On the Riesz Basisness of Systems Composed of Root Functions of Periodic Boundary Value Problems”, Abstract and Applied Analysis, 2015 (2015), 1
-
Д. М. Поляков, “Спектральный анализ несамосопряженного оператора четвертого порядка с негладкими коэффициентами”, Сиб. матем. журн., 56:1 (2015), 165–184 ; D. M. Polyakov, “Spectral analysis of a fourth-order nonselfadjoint operator with nonsmooth coefficients”, Siberian Math. J., 56:1 (2015), 138–154
-
Anahtarci B., Djakov P., “Asymptotics of Spectral Gaps of 1D Dirac Operator Whose Potential Is a Linear Combination of Two Exponential Terms”, Asymptotic Anal., 92:1-2 (2015), 141–160
-
А. О. Щербаков, “Регуляризованный след оператора Дирака”, Матем. заметки, 98:1 (2015), 134–146 ; A. O. Shcherbakov, “Regularized Trace of the Dirac Operator”, Math. Notes, 98:1 (2015), 168–179
-
Д. М. Поляков, “Спектральный анализ дифференциального оператора четвертого порядка с периодическими и антипериодическими краевыми условиями”, Алгебра и анализ, 27:5 (2015), 117–152 ; D. M. Polyakov, “Spectral analysis of a fourth order differential operator with periodic and antiperiodic boundary conditions”, St. Petersburg Math. J., 27:5 (2016), 789–811
-
Cemile Nur, O. A. Veliev, “On the basis property of the root functions of Sturm–Liouville operators with general regular boundary conditions”, Mosc. Math. J., 15:3 (2015), 511–526
-
Mityagin B.S., “the Spectrum of a Harmonic Oscillator Operator Perturbed By Point Interactions”, 54, no. 11, 2015, 4068–4085
-
Gunes H., Kerimov N.B., Kaya U., “Spectral Properties of Fourth Order Differential Operators With Periodic and Antiperiodic Boundary Conditions”, 68, no. 3-4, 2015, 501–518
-
А. Г. Баскаков, Д. М. Поляков, “Спектральные свойства оператора Хилла”, Матем. заметки, 99:4 (2016), 613–617 ; A. G. Baskakov, D. M. Polyakov, “Spectral Properties of the Hill Operator”, Math. Notes, 99:4 (2016), 598–602
-
А. М. Савчук, “Восстановление потенциала оператора Штурма–Лиувилля по конечному набору собственных значений и нормировочных чисел”, Матем. заметки, 99:5 (2016), 715–731 ; A. M. Savchuk, “Reconstruction of the Potential of the Sturm–Liouville Operator from a Finite Set of Eigenvalues and Normalizing Constants”, Math. Notes, 99:5 (2016), 715–728
-
М. Ш. Бурлуцкая, “Смешанная задача для системы дифференциальных уравнений первого порядка с непрерывным потенциалом”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 16:2 (2016), 145–151
-
А. А. Шкаликов, “Возмущения самосопряженных и нормальных операторов с дискретным спектром”, УМН, 71:5(431) (2016), 113–174 ; A. A. Shkalikov, “Perturbations of self-adjoint and normal operators with discrete spectrum”, Russian Math. Surveys, 71:5 (2016), 907–964
-
Kappeler T., Maspero A., Molnar J., Topalov P., “On the Convexity of the KdV Hamiltonian”, Commun. Math. Phys., 346:1 (2016), 191–236
-
Konotop V.V., Yang J., Zezyulin D.A., Rev. Mod. Phys., 88:3 (2016), 035002
-
Kuchment P., “An overview of periodic elliptic operators”, Bull. Amer. Math. Soc., 53:3 (2016), 343–414
-
Molnar J.-C., “On two-sided estimates for the nonlinear Fourier transform of KdV”, Discret. Contin. Dyn. Syst., 36:6 (2016), 3339–3356
-
Mityagin B.S., “The Spectrum of a Harmonic Oscillator Operator Perturbed by
$${\delta}$$
δ -Interactions”, Integr. Equ. Oper. Theory, 85:4 (2016), 451–495 -
А. Г. Баскаков, Д. М. Поляков, “Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла с негладким потенциалом”, Матем. сб., 208:1 (2017), 3–47 ; A. G. Baskakov, D. M. Polyakov, “The method of similar operators in the spectral analysis of the Hill operator with nonsmooth potential”, Sb. Math., 208:1 (2017), 1–43
-
Arslan I., “Characterization of the potential smoothness of one-dimensional Dirac operator subject to general boundary conditions and its Riesz basis property”, J. Math. Anal. Appl., 447:1 (2017), 84–108
-
Kappeler T., Molnar J., “On the Wellposedness of the KdV Equation on the Space of Pseudomeasures”, Sel. Math.-New Ser., 24:2 (2018), 1479–1526
-
М. Ш. Бурлуцкая, А. П. Хромов, “Оператор Дирака с потенциалом специального вида и периодическими краевыми условиями”, Дифференц. уравнения, 54:5 (2018), 592–601 ; M. Sh. Burlutskaya, A. P. Khromov, “Dirac operator with a potential of special form and with the periodic boundary conditions”, Differ. Equ., 54:5 (2018), 586–595
-
Д. М. Поляков, “Одномерный оператор Шрёдингера с квадратично суммируемым потенциалом”, Сиб. матем. журн., 59:3 (2018), 596–615 ; D. M. Polyakov, “A one-dimensional Schrödinger operator with square-integrable potential”, Siberian Math. J., 59:3 (2018), 470–485
-
Kappeler T., Schaad B., Topalov P., “Asymptotics of Spectral Quantities of Zakharov-Shabat Operators”, J. Differ. Equ., 265:11 (2018), 5604–5653
-
Thomas Kappeler, Yannick Widmer, “On spectral properties of the $L$ operator in the Lax pair of the sine-Gordon equation”, Журн. матем. физ., анал., геом., 14:4 (2018), 452–509
-
П. Г. Гриневич, П. М. Сантини, “Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для аномальных волн в нелинейном уравнении Шрёдингера при наличии нескольких неустойчивых мод”, УМН, 74:2(446) (2019), 27–80 ; P. G. Grinevich, P. M. Santini, “The finite-gap method and the periodic NLS Cauchy problem of anomalous waves for a finite number of unstable modes”, Russian Math. Surveys, 74:2 (2019), 211–263
-
А. Б. Хасанов, М. М. Хасанов, “Интегрирование нелинейного уравнения Шредингера с дополнительным членом в классе периодических функций”, ТМФ, 199:1 (2019), 60–68 ; A. B. Hasanov, M. M. Hasanov, “Integration of the nonlinear Schrödinger equation with an additional term in the class of periodic functions”, Theoret. and Math. Phys., 199:1 (2019), 525–532
-
Н. Б. Ускова, “Матричный анализ спектральных проекторов возмущенных самосопряженных операторов”, Сиб. электрон. матем. изв., 16 (2019), 369–405
-
А. М. Савчук, И. В. Садовничая, “О существовании операторной группы, порождённой одномерной системой Дирака”, Тр. ММО, 80, № 2, МЦНМО, М., 2019, 275–294
|
| Просмотров: |
| Эта страница: | 1350 | | Полный текст: | 443 | | Литература: | 76 | | Первая стр.: | 11 |
|
Пользовательское соглашение