RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Подписка
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


УМН, 1973, том 28, выпуск 5(173), страницы 17–44 (Mi umn4950)  

Эта публикация цитируется в 52 научных статьях (всего в 53 статьях)

Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера

В. И. Арнольд


Аннотация: Исследуются интегралы от быстро осциллирующих функций. Такие интегралы стремятся к нулю, когда длина волны осцилляции стремится к нулю при неизменной форме волновых фронтов. Асимптотика убывания интеграла определяется характером критических точек функции, задающей фронты. Если все эти критические точки невырожденные (морсовские), то интеграл стремится к нулю как длина волны в степени половина размерности пространства, и именно такой будет асимптотика интеграла для функций общего положения. Однако, если интеграл зависит от дополнительных параметров, то при некоторых “каустических” значениях параметров возникают неморсовские критические точки и интеграл убывает медленнее. Исследование асимптотики интеграла осциллирующей функции в каустических случаях можно рассматривать как обобщение теории функции Эйри; оно тесно связано с теорией кос Артина, и ответ выражается при малом числе параметров через числа Кокстера групп Вейля серий A, D, Е, а при большем числе параметров – через некоторые их обобщения.

Полный текст: PDF файл (1656 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 1973, 28:5, 19–48

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.5
MSC: 58K05, 20F36, 58K10
Поступила в редакцию: 06.06.1973

Образец цитирования: В. И. Арнольд, “Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера”, УМН, 28:5(173) (1973), 17–44; Russian Math. Surveys, 28:5 (1973), 19–48

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Arn73}
\by В.~И.~Арнольд
\paper Замечания о~методе стационарной фазы и~числах Кокстера
\jour УМН
\yr 1973
\vol 28
\issue 5(173)
\pages 17--44
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/umn4950}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=397777}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0285.40002|0291.40005}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 1973
\vol 28
\issue 5
\pages 19--48
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM1973v028n05ABEH001609}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/umn4950
  • http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v28/i5/p17

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. J. J. Duistermaat, “Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unfolding of singularities”, Comm Pure Appl Math, 27:2 (1974), 207  crossref  mathscinet  zmath
    2. В. И. Арнольд, “Нормальные формы функций в окрестности вырожденных критических точек”, УМН, 29:2(176) (1974), 11–49  mathnet  mathscinet  zmath; V. I. Arnol'd, “Normal forms of functions in neighbourhoods of degenerate critical points”, Russian Math. Surveys, 29:2 (1974), 10–50  crossref
    3. В. С. Куликов, “Вырождения эллиптических кривых и псевдожесткие особенности”, УМН, 30:2(182) (1975), 215–216  mathnet  mathscinet  zmath
    4. С. А. Молчанов, “Диффузионные процессы и риманова геометрия”, УМН, 30:1(181) (1975), 3–59  mathnet  mathscinet  zmath; S. A. Molchanov, “Diffusion processes fnd Riemannian geometry”, Russian Math. Surveys, 30:1 (1975), 1–63  crossref
    5. В. И. Арнольд, “Критические точки гладких функций и их нормальные формы”, УМН, 30:5(185) (1975), 3–65  mathnet  mathscinet  zmath; V. I. Arnol'd, “Critical points of smooth functions and their normal forms”, Russian Math. Surveys, 30:5 (1975), 1–75  crossref
    6. В. И. Арнольд, “Классификация бимодальных критических точек функций”, Функц. анализ и его прил., 9:1 (1975), 49–50  mathnet  mathscinet  zmath; V. I. Arnol'd, “Classification of bimodal critical points of functions”, Funct. Anal. Appl., 9:1 (1975), 43–44  crossref
    7. В. С. Куликов, “Вырождения эллиптических кривых и разрешение уни- и бимодальных особенностей”, Функц. анализ и его прил., 9:1 (1975), 72–73  mathnet  mathscinet  zmath; V. S. Kulikov, “Degenerate elliptic curves and resolution of uni- and bimodal singularities”, Funct. Anal. Appl., 9:1 (1975), 69–70  crossref
    8. И. В. Долгачев, “Автоморфные формы и квазиоднородные особенности”, Функц. анализ и его прил., 9:2 (1975), 67–68  mathnet  mathscinet  zmath; I. V. Dolgachev, “Automorphic forms and quasihomogeneous singularities”, Funct. Anal. Appl., 9:2 (1975), 149–151  crossref
    9. В. И. Арнольд, “Спектральная последовательность для приведения функций к нормальной форме”, Функц. анализ и его прил., 9:3 (1975), 81–82  mathnet  mathscinet  zmath; V. I. Arnol'd, “Spectral sequence for reduction of functions to normal form”, Funct. Anal. Appl., 9:3 (1975), 251–253  crossref
    10. А. М. Габриэлов, А. Г. Кушниренко, “Описание деформаций с постоянным числом Милнора для однородных функций”, Функц. анализ и его прил., 9:4 (1975), 67–68  mathnet  mathscinet  zmath; A. M. Gabrièlov, A. G. Kushnirenko, “Description of deformations with constant milnor number for homogeneous functions”, Funct. Anal. Appl., 9:4 (1975), 329–331  crossref
    11. В. П. Паламодов, “Деформации комплексных пространств”, УМН, 31:3(189) (1976), 129–194  mathnet  mathscinet  zmath; V. P. Palamodov, “Deformations of complex spaces”, Russian Math. Surveys, 31:3 (1976), 129–197  crossref
    12. А. Н. Варченко, “Многогранники Ньютона и оценки осциллирующих интегралов”, Функц. анализ и его прил., 10:3 (1976), 13–38  mathnet  mathscinet  zmath; A. N. Varchenko, “Newton polyhedra and estimation of oscillating integrals”, Funct. Anal. Appl., 10:3 (1976), 175–196  crossref
    13. С. М. Гусейн-Заде, “О характеристическом многочлене классической монодромии для серий особенностей”, Функц. анализ и его прил., 10:3 (1976), 78–79  mathnet  mathscinet  zmath; S. M. Gusein-Zade, “Characteristic polynomial of classical monodromy for singular series”, Funct. Anal. Appl., 10:3 (1976), 229–231  crossref
    14. M.V. Berry, “Waves and Thom's theorem”, Advances in Physics, 25:1 (1976), 1  crossref
    15. M V Berry, J Phys A Math Gen, 10:12 (1977), 2061  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
    16. С. М. Гусейн-Заде, “Группы монодромии изолированных особенностей гиперповерхностей”, УМН, 32:2(194) (1977), 23–65  mathnet  mathscinet  zmath; S. M. Gusein-Zade, “The monodromy groups of isolated singularities of hypersurfaces”, Russian Math. Surveys, 32:2 (1977), 23–69  crossref
    17. М. В. Федорюк, “Особенности ядер интегральных операторов Фурье и асимптотика решения смешанной задачи”, УМН, 32:6(198) (1977), 67–115  mathnet  mathscinet  zmath; M. V. Fedoryuk, “Of Fourier integral operators and the asymptotic behaviour of the solution of the mixed problem”, Russian Math. Surveys, 32:6 (1977), 67–120  crossref
    18. В. А. Васильев, “Асимптотика экспоненциальных интегралов, диаграмма Ньютона и классификация точек минимума”, Функц. анализ и его прил., 11:3 (1977), 1–11  mathnet  mathscinet  zmath; V. A. Vassiliev, “Asymptotic exponential integrals, Newton's diagram, and the classification of minimal points”, Funct. Anal. Appl., 11:3 (1977), 163–172  crossref
    19. S Levit, U Smilansky, “The Hamiltonian path integrals and the uniform semiclassical approximations for the propagator”, Annals of Physics, 108:1 (1977), 165  crossref
    20. Alan H. Durfee, “The signature of smoothings of complex surface singularities”, Math Ann, 232:1 (1978), 85  crossref  mathscinet  zmath
    21. Б. Е. Гринюк, И. В. Сименог, “О многочастичных корреляциях в системе $N$ частиц и многочастичных амплитудах рассеяния”, ТМФ, 35:1 (1978), 89–103  mathnet; B. E. Grinyuk, I. V. Simenog, “Many-particle correlations in an $N$-particle system and many-particle scattering amplitudes”, Theoret. and Math. Phys., 35:1 (1978), 335–345  crossref
    22. В. И. Арнольд, “Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли $B_k$, $C_k$, $F_4$ и особенности эволют”, УМН, 33:5(203) (1978), 91–105  mathnet  mathscinet  zmath; V. I. Arnol'd, “Critical points of functions on a manifold with boundary, the simple Lie groups $B_k$, $C_k$, and $F_4$ and singularities of evolutes”, Russian Math. Surveys, 33:5 (1978), 99–116  crossref
    23. В. А. Васильев, “Асимптотика экспоненциальных интегралов в комплексной области”, Функц. анализ и его прил., 13:4 (1979), 1–12  mathnet  mathscinet  zmath; V. A. Vassiliev, “Asymptotic behavior of exponential integrals in the complex domain”, Funct. Anal. Appl., 13:4 (1979), 239–247  crossref
    24. G Dangelmayr, W Veit, “Semiclassical approximation of path integrals on and near caustics in terms of catastrophes”, Annals of Physics, 118:1 (1979), 108  crossref
    25. F J Wright, J Phys A Math Gen, 13:9 (1980), 2913  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa  isi
    26. M. G. Bauer, “Le problème de Neumann-Kelvin”, Annali di Matematica, 124:1 (1980), 233  crossref  mathscinet  zmath
    27. G. J. Griffith, “The “Coxeter curves”, x2/p+y2/p+z2/p=0 for prime values of p”, JGeom, 17:1 (1981), 24  crossref  mathscinet  zmath
    28. А. Н. Варченко, “Асимптотическая структура Ходжа в исчезающих когомологиях”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 45:3 (1981), 540–591  mathnet  mathscinet  zmath; A. N. Varchenko, “Asymptotic Hodge structure in the vanishing cohomology”, Math. USSR-Izv., 18:3 (1982), 469–512  crossref
    29. В. А. Васильев, “Характеристические классы лагранжевых и лежандровых многообразий, двойственные к особенностям каустик и волновых фронтов”, Функц. анализ и его прил., 15:3 (1981), 10–22  mathnet  mathscinet  zmath; V. A. Vassiliev, “Characteristic classes of Lagrangian and Legendre manifolds dual to singularities of caustics and wave fronts”, Funct. Anal. Appl., 15:3 (1981), 164–173  crossref  isi
    30. Ian Stewart, “Applications of catastrophe theory to the physical sciences”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 2:2 (1981), 245  crossref
    31. P. S. Theocaris, J. G. Michopoulos, “Generalization of the theory of far-field caustics by the catastrophe theory”, Appl Opt, 21:6 (1982), 1080  crossref  adsnasa  isi
    32. А. Н. Варченко, “Комплексный показатель особости не меняется вдоль страта $\mu=\mathrm{const}$”, Функц. анализ и его прил., 16:1 (1982), 1–12  mathnet  mathscinet  zmath; A. N. Varchenko, “The complex exponent of a singularity does not change along strata $\mu=\mathrm{const}$”, Funct. Anal. Appl., 16:1 (1982), 1–9  crossref  isi
    33. А. Н. Варченко, “О полунепрерывности комплексного показателя особости”, Функц. анализ и его прил., 17:4 (1983), 77–78  mathnet  mathscinet  zmath; A. N. Varchenko, “Semicontinuity of the complex singularity index”, Funct. Anal. Appl., 17:4 (1983), 307–309  crossref  isi
    34. F. Axel, M. Rasetti, “Path integrals with coalescent dominant saddle points”, Il Nuovo Cimento B Series 10, 87:2 (1985), 157  crossref  mathscinet  isi
    35. А. Г. Александров, “Когомология квазиоднородного полного пересечения”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 49:3 (1985), 467–510  mathnet  mathscinet  zmath; A. G. Aleksandrov, “Cohomology of a quasihomogeneous complete intersection”, Math. USSR-Izv., 26:3 (1986), 437–477  crossref
    36. Г. Г. Ильюта, “Монодромия и исчезающие циклы краевых особенностей”, Функц. анализ и его прил., 19:3 (1985), 11–21  mathnet  mathscinet  zmath; G. G. Ilyuta, “Monodromy and vanishing cycles of boundary singularities”, Funct. Anal. Appl., 19:3 (1985), 173–182  crossref  isi
    37. G. Dangelmayr, F.J. Wright, “Caustics and Diffraction from a Line Source”, Optica Acta: International Journal of Optics, 32:4 (1985), 441  crossref
    38. Н. В. Иванов, “Комплексы кривых и модулярные группы Тайхмюллера”, УМН, 42:3(255) (1987), 49–91  mathnet  mathscinet  zmath  adsnasa; N. V. Ivanov, “Complexes of curves and the Teichmüller modular group”, Russian Math. Surveys, 42:3 (1987), 55–107  crossref  isi
    39. О. П. Щербак, “Волновые фронты и группы отражений”, УМН, 43:3(261) (1988), 125–160  mathnet  mathscinet  zmath  adsnasa; O. P. Shcherbak, “Wavefronts and reflection groups”, Russian Math. Surveys, 43:3 (1988), 149–194  crossref  isi
    40. Dirk-J. Smit, Maarten V. Hoop, “The geometry of the hyperbolic system for an anisotropic perfectly elastic medium”, Comm Math Phys, 167:2 (1995), 255  crossref  mathscinet  zmath  isi
    41. Henning Schomerus, Martin Sieber, J Phys A Math Gen, 30:13 (1997), 4537  crossref  mathscinet  zmath  isi
    42. Д. А. Попов, “Оценки с константами для некоторых классов осциллирующих интегралов”, УМН, 52:1(313) (1997), 77–148  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa; D. A. Popov, “Estimates with constants for some classes of oscillatory integrals”, Russian Math. Surveys, 52:1 (1997), 73–145  crossref  isi
    43. Д. В. Аносов, А. А. Болибрух, В. А. Васильев, А. М. Вершик, А. А. Гончар, М. Л. Громов, С. М. Гусейн-Заде, В. М. Закалюкин, Ю. С. Ильяшенко, В. В. Козлов, М. Л. Концевич, Ю. И. Манин, А. И. Нейштадт, С. П. Новиков, Ю. С. Осипов, М. Б. Севрюк, Я. Г. Синай, А. Н. Тюрин, Л. Д. Фаддеев, Б. А. Хесин, А. Г. Хованский, “Владимир Игоревич Арнольд (к шестидесятилетию со дня рождения)”, УМН, 52:5(317) (1997), 235–255  mathnet  crossref  mathscinet  adsnasa; D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vassiliev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, V. V. Kozlov, M. L. Kontsevich, Yu. I. Manin, A. I. Neishtadt, S. P. Novikov, Yu. S. Osipov, M. B. Sevryuk, Ya. G. Sinai, A. N. Tyurin, L. D. Faddeev, B. A. Khesin, A. G. Khovanskii, “Vladimir Igorevich Arnol'd (on his 60th birthday)”, Russian Math. Surveys, 52:5 (1997), 1117–1139  crossref  isi
    44. Д. А. Попов, “О сферической сходимости интеграла Фурье индикатора $N$-мерной области”, Матем. сб., 189:7 (1998), 145–157  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; D. A. Popov, “Spherical convergence of the Fourier integral of the indicator function of an $N$-dimensional domain”, Sb. Math., 189:7 (1998), 1101–1113  crossref  isi
    45. E. Brieskorn, A. M. Pratusevich, F. Rothenhäusler, “The combinatorial geometry of singularities and Arnold's series $E$$Z$$Q$”, Mosc. Math. J., 3:2 (2003), 273–333  mathnet  mathscinet  zmath  elib
    46. И. А. Икромов, “Демпфированные осцилляторные интегралы и проблема ограниченности максимальных операторов”, Функц. анализ и его прил., 39:2 (2005), 70–74  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; I. A. Ikromov, “Damped Oscillatory Integrals and the Boundedness Problem for Maximal Operators”, Funct. Anal. Appl., 39:2 (2005), 70–74  crossref
    47. М. А. Чахкиев, “Оценки осциллирующих интегралов с выпуклой фазой”, Изв. РАН. Сер. матем., 70:1 (2006), 183–220  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  elib; M. A. Chahkiev, “Estimates for oscillatory integrals with convex phase”, Izv. Math., 70:1 (2006), 171–209  crossref  isi  elib
    48. Д. А. Попов, “Замечания о равномерных составных оценках осциллирующих интегралов с простыми особенностями”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:4 (2008), 173–196  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa  elib; D. A. Popov, “Remarks on uniform combined estimates of oscillatory integrals with simple singularities”, Izv. Math., 72:4 (2008), 793–816  crossref  isi  elib
    49. Shane Barwick, “Accelerating regular polygon beams”, Opt Lett, 35:24 (2010), 4118  crossref
    50. David Chillingworth, Carmen Romero-Fuster, “Remarks on the singularity indices of Arnol'd and Berry”, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics, 94:3-4 (2011), 339  crossref
    51. Guillaume Bal, Francois Monard, “Inverse Transport with Isotropic Time-harmonic Sources”, SIAM J. Math. Anal, 44:1 (2012), 134  crossref
    52. Jain S.R. Samajdar R., “Nodal Portraits of Quantum Billiards: Domains, Lines, and Statistics”, Rev. Mod. Phys., 89:4 (2017), 045005  crossref  isi
    53. И. А. Икромов, С. Э. Усманов, “Об ограниченности максимальных операторов, связанных с гиперповерхностями”, Современные проблемы математики и физики, СМФН, 64, № 4, Российский университет дружбы народов, М., 2018, 650–681  mathnet  crossref
  • Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Просмотров:
    Эта страница:842
    Полный текст:366
    Литература:44
    Первая стр.:7

     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019